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così per la precedente si ottiene 



(11) 9==— j^/[(x+-ct) — fl{x-~ct) ^ p'er y — ». 



Questa relazione definisce il sppraelevamento del pelo libero l, e quindi 

 la forma di l in ogni istante quando sieno assegnate le funzioni /', e f t . 

 L'assegnazione di queste funzioni dipende dalle circostanze iniziali. Per es., 

 se si ammette che la provocazione iniziale abbia carattere impulsivo, allora 

 per t = dev'essere <p = in S e quindi f=Q; dalla (IO) scende allora 

 la seguente condizione: 



A + A = o. 



Per questa la (11) diviene 



rj = — j | f[(x - et) + fi(x + ct)l. 



È facile ora di rilevare il significato della funzione f[ . Ponendo nella 

 precedente t = e chiamando t] il sovraelevamento iniziale si ottiene 



2e 



per cui la precedente può scriversi: 



%V — Vo(x — et) -\- rj^x -f- cty, 



che definisce ad ogni istante la forma di L nota la sua forma iniziale. 



Come si vede, si tratta di onde che si propagano colla medesima legge 

 che regola la propagazione del suono, qualunque sia la perturbazione ini- 

 ziale: la velocità di propagazione è c = \/gh. Ciò era già stato messo in 

 rilievo da Lagrange ( 1 ). 



4. Canali infinitamente 'profondi (Poisson-Cauchij). — Immaginiamo 

 di trasportare gli assi Oxy parallelamente a se stessi coll'origine nel punto 

 x = Q,y = h: ciò equivale a cambiare z in z -J- ih . L'equazione caratte- 

 ristica (9) diviene con tale referenza: 



^- 2 s ( f(t;z + 2ih) + f(t;;) j + *y^}/'(<;*+2 t 70-A< ;*)} = «■ 



Ciò premesso, supporremo che tanto f quanto la sua derivata rispetto 

 a s (che, come è noto, definisce la velocità) si annullino all' oo ; allora fa- 

 cendo crescere h indefinitamente, il primo e il terzo termine della equazione 

 che precede hanno per limite zero e l'equazione diviene: 



^/'(^)-^A/;*) = o, 



(') Lagrange, loc. cit. ; oppure Lainb, loc. cit. , pag. 248. 



