che, come per primo fece rilevare Levi-Civita ('), è l'equazione caratteristica 

 delle onde di Poisson-Cauchy. 



5. Canali molto profondi (Palatini). — Il caso di un canale conside- 

 revolmente profondo, senza esserlo infinitamente, è stato studiato da Pala- 

 tini (*). L' ipotesi specifica viene tradotta analiticamente nella circostanza 

 clie si può ritenere 



(12) ^- + .^ = 0, pery = M 3 ). 



Questa condizione al contorno può facilmente trasformarsi in una equa- 

 zione indefinita. Si noti infatti che, essendo per la (3) e per la prima 

 delle (1) 



Vtp _ 7>g> _ l>tp 



~òy 2 7>^ 2 ' ~òy ~òx 



la precedente può scriversi: 



e, per le (8), 



s f(t ; x + ih) — f(t;x — ih) j + 



~òt* ~òx 



j ( fti . I Ìh\ l_ fili . ~ ih Ì 



+ k Ì ih) + f(t;x- ih = , 



la quale — trattandosi di funzione analitica — vale anche quando a x si 

 sostituisca g } essendo s l'affissa di un punto generico del campo di esistenza. 

 Pertanto la condizione (12) relativa alla retta y = h è sostituibile colla 

 seguente : 



f(t ; z + ih) -f(i } r~ih)^-h 



+ ig ~ì? \ f{t ; * + th) + f[t ;2 ~ lh) j = ' 



entro S. 



Ciò premesso, derivando due volte rispetto a t l'equazione caratteri- 

 stica (9), si ottiene 



^if(tìà + ìh)+f{t\z-^ih)^ + 



+ ig-^)f(t-,z + ih)-f(t ;*-M){ = 0. 



(') Cf'r. Tonolo, Nuova risoluzione del problema delle onde di Poisson-Cauchy 

 [Atti del R. Ist. Veneto di Scienze, Lettere ed Arti, tomo LXXIII (1913), pag. 545 sgg.jj. 

 ( a ) Palatini, loc. cit, 



C') Palatini, loc. cit,, 1° § 1, n. 3, ipotesi e). 



