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le <j>,-(s) formando un sistema ortogonale come le k(s) g>i(s) , moltiplicate per 

 opportune costanti ( 1 ). 



La più generale funzione <p(s) soddisfacente all'eguaglianza 



k(s) jp(#) -f f K(s , t) g>(t) dt = 



J a 



è una combinazione lineare delle <jp»(s): queste costituiscono dunque un si- 

 stema completo di soluzioni dell'equazione omogenea di Fredholm 



*(«) 



È allora noto che, perchè si possa risolvere l'equazione 

 (35) ns) = xfj{s)+ £^Èyj {t)cU 



nella funzione incognita ip(s)[f($) essendo una funzione sommabile in (a,b) 

 insieme col suo quadrato] è necessario e sufficiente che f(s) soddisfi alle 



seguenti condizioni: f f(s) xì{s) ds ■ = (i • -= 1 , 2 , ... m), dove le xì( s ) c °- 



J a 



stituiscono un sistema coìnpleto di soluzioni dell'equazione omogenea 



m * {s) +£ ~ijtr x{l)dt==s0 ' 



Ma questa è soddisfatta prendendo %{t) = k{s) (pi{s), e siccome le Jc{s) g>i(s) 

 sono linearmente indipendenti, costituiscono un sistema completo di soluzioni 

 della (3(3), quindi perchè la (35) ammetta soluzione è necessario e sufficiente 

 che f{s) soddisfi alle seguenti condizioni : 



f f(s) fc(s) (ji(s) ds = (i = 1 , 2 , ... m) . 



Data dunque una funzione reale / (s), sommabile in (a , b) insieme col 

 suo quadrato, potremo determinarne un'altra f-\{s) soddisfacente all'egua- 

 glianza 



(37) f (s) = k{s) f-M) + f K(s , t) f-At) dt 



r b 



quando e solamente quando f (s) soddisfa alle condizioni | f (s) g>i(s) ds=Q, 



» a 



c b 



cioè alla condizione : f(t , s) f {t) dt = . 



(') Le 9>i(s) sono in numero finito, perchè |A(s)| si mantiene superiore ad una quan- 

 tità positiva fissa. • 



