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Supposta soddisfatta questa condizione la (87) ammette infinite solu- 

 zioni che differiscono per una combinazione lineare delle g>i(s): noi fisseremo 



quella soluzione soddisfacente alla condizione f r(t , s) f-i(t) dt — e 



J a 



chiameremo /_i(s) prima iterata inversa di / (s) relativamente a K(s , t) 

 e k(s) . 



Potremo dunque formare la successione di funzioni 



(38) A(s), /•_,(*) ,/!,(*),. ../_„(«),... 



ciascuna delle quali è la prima iterata inversa della precedente : chiameremo 



f- n (s) n esima iterata inversa di f\{s) relativa a K(s , t) e k(s) . 



Le iterate di / (s) definite al n. 2 della Nota I le chiameremo più 

 propriamente iterate dirette. 



Supponiamo ora che zero non sia una costante caratteristica propria 

 relativa a K(s , t) e k(s): allora la (37) ammette una ed una sola soluzione 

 /_i(s), qualunque sia f (s) sommabile in (a , b) insieme col suo quadrato, 

 e potremo ancora definire la successione (38) delle iterate inverse. 



Le iterate inverse di f (s) sono dunque definite in ogni caso dalle re- 

 lazioni di ricorrenza 



/- ( n-i>(*) = Hs) /_„(*) + f Ò K(s , t) /_„(;) dt (« = 1,2, ...) 



■ a 



alle quali, nel caso in cui zero sia una costante caratteristica propria, bi- 

 ffe 



sogna aggiungere ) r(t , s) f- n {t) di = per qualunque n > . 



Se g (s) è un'altra funzione sommabile in (a . b) insieme col suo qua- 

 drato, m , n , r tre interi non negativi ed r <. n , si avrà 



(39) f g_ m (s) f-»{s) ds = f p_ (M+r ,(«) f-tn~n ( s ) ds . 



J a ~> a 



19. Premesse queste definizioni, siano fi x , fi 2 , ... costanti caratteristiche 

 proprie e distinte relative a K(s , e #(s) e r^s , t) , JT 2 (s , t) , ». le cor- 

 rispondenti funzioni caratteristiche. 



Se tra le costanti caratteristiche proprie c' è lo zero, lo supporremo in- 

 cluso tra le /x n : potrebbe anche la successione delle (i n non contenere nessun 

 termine oltre questo eventuale termine nullo. 



Definite le funzioni C r (s,t) come al n. 12, poniamo 



B,l*,0 = K(s,0 — C,(s,<) (')• 



( x ) I^a Bi(s,i) è la stessa funzione D^s,^ della Nota III. 



