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Essendo, per qualunque n , 

 (40) f r n (v , s) B,{t> ,t)dv = 0, 



J a 



possiamo formare le iterate inverse di B^s^t), considerata come funzione- 

 di s, relativamente a K(s , t) e k(s) . 



Denotiamo con B„(s , t) la iterata inversa di ordine n — 1; sarà 



B„_,(s , l) -- k{s) B„(s , t) + f 6 K(y , s) B„(v , t) dv . 



<J a 



Per la (40) si può anche scrivere 



B w _!(s , t) = k{s) B n (s , + f V(u , s) B„(b dv , 



« a 



e da questa, per la (39). si ottiene 



B^-^s , t) = h\s) B,, + ,(s , t) -f- f B [A (y , s) B, +1 (v , it) flfo , 



se ,1* e v sono due interi, positivo il primo, non negativo il secondo. 



vSe B n (s , t) = è anche B fi _,(s , t) = 0, quindi B,(s , t) = : questo 

 caso è stato già esaminato al n. 12. * 



In particolare, se la successione delle /x„ non contiene nessun termine 

 si ha B,(s , t) = K(s , t). quindi nessuna delle B„(s , t) è nulla. 



Supposto Bi(s 0, poniamo 



X„ = f 6 f B\{s , ds dt : 



• - a J a 



sarà, per la (39), 



f B*(s Pb^s , l) B„ +1 (* , rfs , 



^a -'a 



e perciò 



X* < X„_i X n+I . 



y 



Ponendo h» = " , la successione delle /i„, crescente e limitata, tende 



A„-i 



ad un limite h > . 



Si dimostra che se fi è una costante caratteristica propria diversa 



dalle in n si ha ,u 2 >. 7 . 



h 



Ricordiamo che si era trovato /.i 2 .< d . 



In particolare, se la successione delle fi n non contiene nessun termine, 

 tranne eventualmente lo zero, si ha d = c (1) ed h ha un certo valore che 



Rendiconti. 1918, Voi. XXVII, 2° Sem. 42 



