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conseguenti, degli antecedenti, e degli antecedenti dei conseguenti darà l'in- 

 sieme dei punti congruenti ad x. Questo insieme è invariante per l'opera- 

 zione a(x). 



Si noti in particolare l' insieme dei conseguenti di x = : 



(2) — a , a* — a , (a 2 — a) 2 — a,... 



e degli antecedenti di x = , che si diranno fuochi : 



(3) =ir |/« , =t Va — Va , r?= : 1/ a dt Va ir l/fl! -, .... 



2. I punti del piano x che rimangono invariati per applicazione di a(x) 

 sono, oltre ad x = qo . le radici 



|(1 -j/l+4«) 



dell'equazione x 2 — a = x. Esse sono reali per a positivo, e si indicherà 

 con z la radice positiva, con / la negativa. 



Poiché tutti i conseguenti di z coincidono con z, così l'insieme dei 

 punti congruenti a z consta di z e dei suoi antecedenti, fra cui vi è — z. 

 A z e ai suoi antecedenti daremo il nome di vertici. Il punto z' è punto 

 di convergenza regolare se è a <C f ; il punto z non è mai tale. 

 3. Indicherò con Sì V insieme dei punti x pei quali è 



lim a n (x) = oo . 



È facile dimostrare che questo insieme comprende tutti i punti pei 

 quali è | x | > z . Si può pure dimostrare che Sì 3 on ha punti isolati, che 

 è connesso, che un punto limite di antecedenti di un qualunque punto x 

 non può appartenere ad Sì. Perciò, gli antecedenti dei punti di Sì, i quali 

 appartengono quindi tutti ad Sì, hanno i loro punti limiti al contorno r 

 di Sì. Questo contorno è chiuso; è invariante rispetto ad a{x) . 



4. La successione 



(4) fa , Va -{-Va , \/ a + Va + Va , ... 



t è costituita da numeri crescenti; essa è limitata superiormente, poiché per 

 c>2 è 



Va -f- Va < V2a < a , onde \j a -{- Va + Va < a , ecc. , 



ed è quindi a fortiori limitata per a <. 2 . Essa ha dunque un limite, che 

 è evidentemente z. 



