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cioè a fa — s\ ne viene che nell' intervallo ( — fa — z . fa — s) ( l ) non 

 cade alcun fuoco all' infuori dello zero. L'intervallo ( — fa — z , fa — z) 

 si indichi con q ; esso ha 2" antecedenti n simi , 2 n ~' positivi e 2" -1 nega- 

 tivi,- che cadono rispettivamente in (fa — z , z) ed in ( — z, — fa — z) 

 complementari di q su ( — *,'*); questi antecedenti hanno per estremi ver- 

 tici di ordine n -f- 2 , propri, e reciprocamente, ogni vertice proprio di or- 

 dine n -f- 2 è estremo di un intervallo q n , antecedente n simo di q . Ognuno 

 degli intervalli q n contiene un fuoco ed uno solo. Due intervalli q, qua- 

 lunque sia il loro indice, non hanno in comune nè punti interni, nè estremi. 

 Tutti gl'intervalli q appartengono ad -Q, ad eccezione dei loro estremi (ver- 

 tici) che sono al contorno di Sì. 



Se ora si osserva che ogni vertice è limite di una successione di fuochi 

 [come si vede sostituendo, nell'espressione (5) del vertice, gli elementi di (4) 

 al posto di s] e che ogni fuoco è interno ad un intervallo q, ne viene che 

 ogni vertice sarà anche punto limite di vertici. 



Indichiamo ora con Z l'aggregato dei vertici è dei loro punti limiti. 

 Esso è tutto posto sul segmento ( — z,i), i cui estremi gli appartengono; 

 dei segmenti q esso contiene solo gli estremi, perciò questi segmenti sono 

 per Z intervalli contigui. 



L'aggregato Z è per definizione chiuso, ed è anche denso in se, per 

 essere i vertici punti limiti di vertici; è dunque perfetto. È inoltre non 

 denso, poiché in caso contrario conterrebbe tutto un intervallo, in cui ca- 

 drebbero necessariamente vertici, e quindi fuochi, contro il fatto che ogni 

 fuoco è interno ad un intervallo contiguo. 



7. È ora facile di stabilire, nel caso a^>2, quale sia il campo Sì. 

 Ad esso intanto appartengono l'esterno del cerchio^ | x \ = z , l'interno del 

 cerchio \x\ — fa — z, cerchi che diremo rispettivamente G e Có- Antece- 

 dente n sima di C è la curva 0„ rappresentata dall'equazione 



|«»(a?)j.= *; 



è una cassinoide a 2" fuochi, che sono gli n simi antecedenti di x = ; essa 

 consta di 2" ovali, ciascuna delle quali taglia l'asse reale in due punti (ver- 

 tici) l' uno dei quali è vertice proprio, l'altro vertice improprio di ordine 

 » + 1 ; il segmento così determinato, o diametro dell'ovale, comprende infi- 

 niti intervalli contigui. 11 campo esterno a tutte le ovali appartiene ad Sì. 

 La prima e la seconda ovale di C n sono tangenti internamente alla prima 

 ovale di C n _! nei suoi vertici; la seconda e terza sono parimenti tangenti 

 alla seconda ovale di C n _, , e così via. Antecedente n iima di G' è la curva 

 data da 



\a n (x)\ = fa — z; 



(') Con (a , b) si indica l'intervallo (sull'asse reale) a<^8l<^l>. 



