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è una cassinoide C n coi medesimi 2 n fuochi di C„ e pure composta di 2" 

 ovali; l'interno di ciascuna di queste appartiene ad Sì. Ogni ovale di G'„ 

 taglia l'asse reale in due vertici propri di ordine n -j- 2 , comprendenti un 

 diametro che non è altro se non uno degli intervalli contigui q n . Due ovali 

 consecutive di G n sono tangenti (esternamente) ad una ovale di C' ft _i nei ver- 

 tici di questa. 



Si passi ora al limite per n = oo . Una considerazione elementare di 

 geometria analitica dimostra che la massima ordinata, tanto delle G n che 

 delle G», tende a zero per n = co . L'interno delle C' t tende all'insieme 

 degli intervalli contigui, i vertici esclusi; l'esterno delle G n tende a tutto 

 il piano meno ciò che rimane del segmeuto ( — z\ z) togliendo gl'intervalli 

 contigui ; onde segue che « nel caso a > 2 , il campo Sì , i cui punti sono 

 «mandati all'infinito dall'iterazione indefinitamente ripetuta di z 2 — a, è 

 u costituito da tutto il piano, meno l'aggregato perfetto non denso Z posto 

 « sul segmento ( — z,s) dell'asse reale ». 



8. A questo studio si connette quello delle catene di radicali 



in numero infinito; nel caso «>2, è già dimostrato (') come ogni simile 

 catena, per una determinata successione di segni, sia convergente e tenda ad 

 un elemento determinato dell'aggregato Z, e reciprocamente, come ogni ele- 

 mento di Z sia univocamente rappresentato da una determinata catena (8). 



9. Nel caso a = 2 , si ha z = 2 , z' = 1 . La successione (4) tendendo 

 a 2 , ne viene 



i vertici coincidono dunque coi fuochi ed un vertice proprio di ordine n è 

 un fuoco di ordine n — 2 (con a — 2 segni radicali). 



Detto C il cerchio \x\ = 2, l'esterno di C appartiene ad Sì; antece- 

 dente di C è la curva \ a(x)\ = 2, che si vede essere una lemniscata C! 

 di fuochi zfc ] 2 , ed avente x = come punto doppio ; l'esterno della lemni- 

 scata appartiene ad Sì. Antecedente di Ci è la lemniscata C 5 a quattro 



fuochi \a z (x) | = 2; i fuochi sono rt 1 2 =t= 1 2 , i punti doppi sono i fuochi 

 =t f 2 di Ci. Così di seguito: l'antecedente n sima di C è una curva G n , 

 lemniscata a 2" fuochi, di ordine 2 n+ \ ed i cui punti doppi sono i fuochi 

 delle G n _i . Chiamando diametro di C„ il tratto di asse reale compreso fra 

 due punti doppi consecutivi, si vede che ogni diametro di C« è somma di 



(8) 



| 2 — I 2 + ! 2 + in inf. = 0; 



(') Rendiconti della R. Acc. di Bologna, 17 febbraio 1918. 



