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due diametri consecutivi di C„_j . Come al n. 7, una considerazione sem- 

 plice di geometria analitica mostra che la massima ordinata di C n tende a 

 zero per n == co . Le C„ ammettono dunque come limite il segmento ( — 2 , 2): 

 il campo Sì è pertanto costituito da tutto il piano, meno codesto segmento. 

 Ogni fuoco è punto limite di fuochi ; l' insieme perfetto dei fuochi e dei loro 

 punti limiti è denso su ( — 2,2) e costituisce cioè tutto l'intervallo. Ogni, 

 catena indefinita 



(9) ± J 4 rt 1/2 ztf 2^^ , 



dove sia determinata la successione dei segni, è convergente e tende ad un 

 numero x compreso fra — 2 e 2, e reciprocamente, ogni tale numero am- 

 mette rappresentazione nella forma (9). 



La relazione che lega i punti consecutivi 



X„ — ^n—l — & 



s'incontra in trigonometria elementare nella duplicazione degli archi; basta 

 porre x === 2 cos 6 , x x — 2 cos 28 . 



10. Venendo finalmente al caso di «<2, si vede che è ^>«, e che 

 i fuochi non sono più tutti reali ; anzi, per a <C 1 , nessuna delle (3) in cui 

 figuri qualche segno — può essere reale e sono tali i soli fuochi della suc- 

 cessione (4) insieme ai loro contrari. Per a = 1 , oltre a questi, si ha il 

 fuoco reale : per 1 < a < 2 , il decidere per quali disposizioni dei segui 

 -j- e — una espressione (3) sia reale viene a presentare qualche difficoltà ('). 



Anche nel caso «<^2, i punti del piauo esterni al cerchio C dato da 

 \x \ = 3 appartengono ad Sì; vi appartengono dunque gli antecedenti di questi, 

 cioè i punti esterni alla curva Ci data da | x z — a \ == z ; questa è una cas- 

 sinoide di fuochi rt ]/a , formata da una sola ovale interna a C e tangente 

 a Co nei punti ±z. Antecedente di Ci è la curva C 2 , data da |a»(a;).| ==*, 

 cassinoide a quattro fuochi pure di un solo pezzo, interna a Ci cui è tan- 

 gente nei quattro vertici e ±f/« — z, i primi reali, i secondi imma- 

 ginari. Così continuando, si dà origine ad una successione indefinita di 

 curve C„ , cassinoidi a 2" fuochi, ognuna delle quali è interna alla prece- 

 dente e tangente alla precedente nei vertici di ordine n propri ed impropri. 



I punti esterni ad ognuna delle C„ appartengono ad Sì; il contorno r 

 di Sì è dunque interno a tutte le G n ed è il luogo limite di queste. I punti 

 limiti dell'aggregato degli antecedenti di un punto qualunque di Sì appar- 

 tengono a r. 



11. Considerando la successione particolare di vertici 



(10) Va -f Ì~a~—z , \/a + Va + Và^~z , Va + j/a + Va + Va— 1 , ... 



(') Ved. Beivi, della R. Acc. dei Lincei, Comunicazione del 6 settembre 1918. 



