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Il primo membro dipende soltanto da £ , il secondo soltanto da rj ; bi- 

 sogna quindi che siano entrambi costanti. Perciò 3 ed H non possono essere 

 altro che polinomi di terzo grado nei rispettivi argomenti £ , . Designando 

 con 3» , So , S'o i valori di 3,3', 3" per £ = , e analogamente con 

 H, , ecc., si ha dalla (5'), dalla sua derivata rispetto a £, e dalla (6'), facen- 

 dovi £ = rj = : 



B" // ' — " ri" *f ri 



— 11 > — ' o "o ' <-«o — ,7 • 



In base a queste relazioni e alla (9), il confronto dei due sviluppi di 

 Taylor 



3{ì) - So + £i£ + 4- lf« + 1 S""£ 3 , 



( ri) = H + JT , + £ HJV +-£ H'" f 

 consente di esprimere H per 5" sotto la forma 

 (10) H(,) = — S(— V ). 



Tenendone conto, si constata ovviamente che le (5') e (6') riescono sod- 

 disfatte, qualunque sia il polinomio di terzo grado 3(£), che rimane così 

 arbitrario. 



L'identità 



-H( V ) = 3(-ri) = 3\!;-(£+ V )\ = 



= 8{t) - (* + 8'($) + |(f + ny 3"(S) - + v) 3 



semplifica notevolmente l'espressione (7') di co, riducendola a 

 (7") o ) = -iK o r".(£ + #. 



Ne deduciamo anzitutto che la costante 3"' va ritenuta diversa da zero ; 

 altrimenti si annullerebbe co e con essa le altre due curvature to^ , » 2 , e si 

 ricadrebbe al solito nel caso elementare B 3 ) di uno spazio euclideo. Inoltre, 

 ricordando che = £ -(- rj , riconosciamo che, anche in questo caso, co si 

 presenta sotto la forma w e -3T («o costante), come deve avvenire, in virtù 

 ielle condizioni di integrabilità, per tutte le B 2 ) [cfr. Nota IV, § 2]. 



4. — Soluzioni oblique — Forme canoniche. 



Dalla espressione (1) del da' 1 apparisce che, se si designa con X una 

 generica costante positiva e si sostituiscono ordinatamente X3 , , — 



A A 



a 3 , K , (f , il da* non si altera. Con tale sostituzione non si toccano £ , 

 ij , x 3 , nè per conseguenza 



? iT dx\ — i \»dx%, 



