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hauno per somma u e v rispettivamente, la serie-prodotto 



(2) u Ve -f- (a, Vx -f- v ) -\- (ito v t + U! Vi + u t Vi) -) 



è sempre sommabile con lo stesso metodo ed ha per somma uv . 



Orbene vi è un terzo metodo che gode della stessa proprietà, ed è il 

 più antico metodo di sommazione delle serie divergenti. 



Una serie 



(3) u t -f" «i -f- % -j 



è sommabile col metodo di Eulero ed ha per somma u quando la serie di 

 potenze 2u n x n è convergente per \x\<C. 1 (ed allora lo è assolutamente) ed 

 esiste ed è finito il numero 



co 



(4) u — lim y_ Un x n . 



<£=] — o n=o 



Ora sussiste il teorema: 



Se due serie (1) sono sommabili col metodo di Eulero ed hanno 

 per somma u e v rispettivamente, anche la serie-prodotto (2) è somma- 

 bile col metodo di Eulero ed ha per somma uo . 



Infatti, giusta l' ipotesi e la definizione precedente, si ha che, per ogni x 

 il cui modulo sia minore di 1 , le due serie 



00 00 



^_ U n X n , y_V n X n 

 n=0 n=0 



sono convergenti assolutamente e quindi moltiplicabili con la regola di 

 Cauchy, dando luogo ad una serie anche assolutamente convergente: 



00 00 00 



y u n x n Xy»„j;"=}_ (w v n -f- Ui y„_i -) -f- u n v„)x n . 



m=» n=0 n=0 



Da ciò e dall' ipotesi 



00 00 



lim y_u n x n = u , lim ^_v n x n —v 



cc=\—o «=e «sii—o m=o 



segue che 



00 



lim 2_ (u v tì -f- U\ v n -i +••-+'«« Vt) x n = uv , 



oc=ì—o n—O 



e quindi che la serie (2) è sommabile col metodo di Eulero ed ha per 

 somma uv. 



Come si vede, la dimostrazione è ben semplice. È poi quasi evidente 

 che tutte le altre proprietà aritmetiche delle serie convergenti valgono per 



