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 Sostituzioni successive daranno: 



II' nel + N ■ • D(4 , n) = D[2 , 2E(»/4)] D[2 , 2E(n/2)] - D[4 , 4E(»/4)] ; 

 III' rc«8 + N ■ • D(8 , n) = D[2 , 2E(»/8)] X D[2 , 2B(n/4)] X D[2 , 2B(»/2)] 



XD[4,4E(»/4)] 



— D[4 , 4E(»/8)] X 



-f- D[8 , 8E(w/8)] ; ecc. 



Ed ecco il risultato generale. « Risolvo l'equazione: 

 (1) ii ir%'+ *» H \-ip=P, 



con le condizioni: a) i\ è un Ni , e gli altri i s"ono degli N ; i) per 

 ogni l"'p,r, il massimo valore di i r è jo — r-f-l; c) se, per/)>l, 

 *V è un 2"'p,k, si prenderanno nulli i k — 1 numeri i immediatamente 

 seguenti, cioè i numeri i f+1 , i r+t , ... , i r -k+i • Indicando allora, per ciascuna 

 soluzione, con num i il numero degli i diversi da zero, 



D(2*»\ n) = 2(— l)p-»»m« D[2<> , 2" E(»/2*)] D[2 ,a , 2*« B(«/2»»- 1 )] • • • 



. . . D[2*p ,2*pB(»/2)], 



estesa a tutte le soluzioni della (1) ». Queste soluzioni sono 2* _1 ; come si 

 dimostra osservandocene, per es., dalle 4 soluzioni: 



111 , 120 , 201 , 30 0, 



della i\ -f- ia — 3 , con le due operazioni da farsi su ciascuna: 

 aggiunta di un ultimo elemento 1 ; 



aumento di 1 dell' ultimo elemento non nullo, e poi aggiunta di un 

 ultimo elemento ; 



si hanno tutte le soluzioni della i x -}- ? 2 -j~ i% -f- i 4 =, 4 ; le quali sono 



dunque 8, e, precisamente, le: 



1111 , 1201 ', 2011 , 3001, 

 1120 , 1300 , 2020 , 400 0. 



2. Veniamo al numero D(2P,2*£). In virtù della (18): 



V peHj, ■ ke\ + N, • • D(2* , 2p k) = D[2* , 2*(k — 1)] + 



-f DC2*- 1 ,2f-'(2/fc — 1)]. 



La ricerca delle funzioni D(2 , 2k) , D(4 , 4k) , D(8 , 8k) , ... , è dunque 

 un problema di differenze finite; trattandosi di trovare una successione: f x k, 

 f t k , f%k , ... , di funzioni di k, tali che la prima differenza, f p k — f p (k — 1), 

 di ciascuna, per il valore generico sia data dalla funzione precedente, 



