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per il valore 2k — 1. Per i primi casi si ha subito: 



VI A'cNi • • 



D(2,2k) = G(k,l) = k. 



D(4 , 4k) = G(k , 2) + C(£+l ,2)==/£ 8 . 



D(8 , 8A) = G{k , 3) + QG(k +1,3) + 



+ C(k + 2 , 3) = C(2& + 1,3) = A(4A l — l)/3 . 



D(16,16&) = C(£,4) + 31C(/c + l,4) + 31C(& + 2,4) + 



+ C{k + 3 , 4) = k 2 (8k* — 5)/3 . 

 D(32 , S2k) = G(k , 5) + 196C(A + I , 5) + 630C(& +2,5) + 



+ 196C(>fc + 3 , 5) + G{k + 4 , 5) ; 



essendo C l'ordinario simbolo delle combinazioni. Ed ecco il risultato gene- 

 rale. «Si definisca una funzione M(p , q), di p e q , ponendo: 



/ M(0,0) = 1 



vn ^N, ■ 0- M(0 ' , q) = 



j j?«Ni ■ ?«N ■ ■ M(jo , = 



f =2[G\p-\- 1 , q — i) ìl(p — 1 , 201?, 0-/)— 1] Def. ; 



e si avrà la formula: 



Vili jOj^N, ■ ■ D(2" , 2p,'c) = 



= £[M(p — i , 2i)Q(k + i 1 p)\i,Q-p — 1] - (*). 



Diamo i valori di M corrispondenti ai primi valori di p e ; nei posti 

 vuoti si sottintendono degli zeri. 



M_ 







1 



2 



3 



4 



5 





7 







1 

















1 



1 



2 



1 













2 



1 



4 



6 



4 



1 









3 



1 



10 



31 



44 



31 



io 



1 





4 



1 



36 



196 



476 



630 



476 



196 



36 



5 



1 



202 



1821 



6936 



14562 



18492 



14562 



6936 



6 



1 



1828 



27330 



154772 



473327 



891976 



1095836 



891976 



? 





















e 



La dimostrazione, 



ratta, per 



induzione, 



dalla V, dà 



i teoremi d'aritmetica 



1) 



««N neO' 





- 1) É C(f + l,n + f)C(* + *,i)| 



i , 0- t + 1 



— re] = 0, 



2) «zeNo • «e - w + 1 + No • C(m + 1 n) = 



2 | ( - 1)< C(« + re — 2» , m) G{m + 1 , i) \ ì, 0- E [(re + 3)/2] ] ; 



il secondo dei quali supponi- che, se n è un N ( • a) | i , 0" - — re) == fO, qualunque sia 

 la funzione fi di i, definiti per i = 0; b) C(p , — n) = 0, qualunque sia l'N»j». Que- 

 st'ultima convenzione si farà valere sino alla fine di questo scritto. 



Rendiconti. 1918, .Voi. XXVII, 2» Sera. 53 



