3. La Vili, contenendo solo i numeri M(p — 1 , 2i), farebbe apparire 

 ingombrante l'introduzione degli M col secondo indice dispari. Ma, prima 

 di tutto, quest'ultimi M compaiono nella formula : 



IX pel -f- Ni • ksN, ■ D • D[2*» , 2P~ 1 (2k + 1)] = 



= 2[M(p — 1 , 2i — ,1) G(k + i,p)\i, 1- — 1] • 



E gli uni e gli altri si presentano insieme in alcune « tavole di somma »; 

 costruite con la legge del triangolo aritmetico : « ogni elemento interno è 

 somma del sovrapposto e del precedente questo nella sua orizzontale » . Per 

 l'appunto, con tavole di somma aventi uguali a 1 tutti i numeri delle prime 

 verticali, dai numeri M(p — -1 ,2/) del rigo p m ° della tabella precedente, 

 si ottengono, al (p -\- 2) mo rigo, tutti i numeri M(p , i) del rigo (p -4-l) nw ; 

 e le tavole: 



I 11 16 1. 



II 121 1771 

 12 1,13 3 1 1 8 14 8 1 



1 4 6 4 1 , 1 9 22 22 9 1 



1 10 31 44 31 10 1, 



lo dimostrano per p = 1, a 2 e a 3. La dimostrazione genarale, per indu- 

 zione, è basata su una proprietà delle tavole di somma, cbe si può leggere 

 nel Bertrand-Betti, Algebra elementare (v. eserc. 12° della pag. 199, 1862); 

 e in virtù della quale, per es., l'elemento i mo dell'ultimo rigo dell'ultima 

 tavola è dato, per % da a 7, da 0(4 , i — 1) X 1 -f C(4 , i — 2) X 6 

 -j- G(4 , e — 3) XI, cioè da M(3,z'). Come conseguenza immediata, in una 

 stessa orizzontale, di indice p qualunque, della tabella degli M : a) due M 

 equidistanti dagli estremi son sempre uguali; b) la somma di tutti gli 

 M = 2h \_p{p -f- 1)/2 + !]• Si potrebbero dedurre le formule: . 



IX jg joeN • isO- p-D- M(p , 20 = M(p , 2p — 2i) , 



1X1 » • • 2[M(> , 20 1 i , 0- p] = 2 A p(p + 1 )/2 , 



affermanti teoremi dello stesso tipo per gli M di secondo indice pari; ma 

 esse si stabiliscono già nel corso della dimostrazione della Vili, e anche 

 direttamente. 



4. Chiudiamo con una nuova proprietà dei numeri M. Osservo che: 



qsO- 

 qeO- 

 qeO- 

 qsO" 



4 •O.M(2, ? )==C(4, ? ), 



6 ■0-M(3,j) = C( 6,?)-f-2 2 X 1X0(4,^ — 1), 

 8 •0 M(4, (? ) = C( 8,^) + 2 , X 7XG(6,q — 1), 

 10 • • M(5 , q) = C(10 , q) + 2 2 X 48 X C(8 , q — 1) + 



+ 2 4 X 15X0(6,? — 2), ecc.; 



