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Ciò nondimeno, un' analisi minuta toglie a quel concetto tale indetermi- 

 nazione, e conduce a riconoscervi limitazioni tali da permetterci di enunciate 

 proposizioni generali, e che non paiono prive d' importanza. 



Appunto una tale proposizione io mi propongo di enunciare qui e di indi- 

 carne alcune applicazioni alla teoria degV insiemi, a quella delle funzioni, e 

 a questioni geometriche ( '). 



1. La nozione generale di funzione si connette a quella d' insieme di numeri 

 (o di punti). Sia x un numero (-) variabile in un determinato campo (o in- 

 sieme) ; un altro numero y si dice funzione di x in detto campo se per ogni 

 valore di x, scelto ad arbitrio in quel campo, è assegnato per y un sistema 

 Y di valori, che si diranno corrispondenti a quel valore di x ( ;ì ). 



Riunendo x ed Y in un soì gruppo si avrà un insieme di gruppi il quale 

 rappresenta la funzione. Inversamente, ogni insieme ben definito di gruppi di 

 numeri in ciascuno dei quali sìa distinto un numero x, rappresenta una fun- 

 zione che fa corrispondere a quegli x gli altri numeri dei gruppi rispettivi 

 come valori di y. 



Vuoisi qui dar gran rilievo ai due attributi sottolineati assegnato e ben 

 definito; noi dobbiamo con essi intendere che con un numero finito d'ope- 

 razioni possiamo riconoscere se un certo valore di y corrisponde ovvero 

 non ad un valore precedentemente scelto di x ( 4 ); e che con un numero finito 

 di operazioni si può riconoscere se un numero scello a piacere appartiene 

 o no all' insieme, e se due o più numeri arbitrariamente scelti apparten- 

 gono o non ad uno stesso suo gruppo ( h ). Se queste condizioni non sono sod- 

 disfatte il concetto di funzione, come quello d' insieme vengono a mancare. 



(') Tralascierò qui ogni dimostrazione: quella della proposizione fondamentale richiede 

 un'analisi lunga e minuta che sarà sviluppata in un lavoro: Recherches sur le contimi, 

 et sur sa puissance, di prossima pubblicazione, insieme colle principali conseguenze. Al 

 l'applicazione geometrica che segue ritornerò in un prossimo lavoro: Sulle corrispondenze 

 armoniche. 



( 2 ) E noto che ad un gruppo qualunque di variabili, reali o complesse, si può sempre 

 sostituire un'unica variabile reale. 



( 3 ) Cfr. Du-Bois-Eeymond, Die allgemeine Functionentheorie, p. 215. 



( 4 ) Cfr. Dini, Fondamenti per la teoria delle funzioni di variabile reale, ove, nella 

 definizione di funzione (§ 29), è detto che il valore di y è noto o può esser trovato. Che i valori 

 della funzione per valori assegnati della variabile siano arbitrari (Jordan, 1. c.) è vero in 

 questo senso soltanto che, qualunque sia un insieme di valori della variabile per cui è asse- 

 gnato il valore della funzione, questa non ne risulta determinata di conseguenza; e, data 

 una funzione che assuma quei valori, ne esistono altre che, pur soddisfacendo a queste 

 condizioni, assumono valori arbitrari per altri quanti si vogliano valori della variabile. 



( 5 ) Cantor, Acta Matematica, II, pag. 363. — Math. Ann. 20, pag. 114-115. — La 

 definizione dell'insieme ben definito del sig. Cantor, sebbene con maggiori particolari 

 logici, non differisce in sostanza dalla nostra; noi vi aggiungiamo quella della decomposi- 

 zione dell'insieme in gruppi. 



