— 74 — 



2. Alle conseguenze di queste osservazioni dobbiamo premettere alcune 

 definizioni : 



Sia A un insieme perfetto di punti appartenenti ad uno spazio con un 

 numero qualunque, anche infinito (numerabile) ('), di dimensioni; un altro 

 insieme a chiuso, tutto contenuto in A, si dice non denso in A se esistono 

 punti di A prossimi quanto si vuole ad ogni punto di a e non appartenenti ad a. 



Se A, anziché perfetto, è soltanto chiuso, a, ancora supposto chiuso, si 

 dirà non denso in A se, essendo formato con soli punti di A, la sua parte 

 contenuta nel massimo insieme perfetto contenuto in A è non densa in esso. 



Un insieme si dirà di l a categoria, completo, rispetto ad A quando 

 è la somma logica d' un insieme numerabile d' insiemi chiusi non densi 

 in A (2). 



Un insieme non chiuso si dice non denso in A se non lo è l' insieme 

 che si ottiene chiudendolo. 



Un insieme si dirà di l a categoria, incompleto, rispetto ad A quando 

 è la somma logica d' un insieme numerabile d' insiemi non densi in A, non 

 tutti chiusi. 



Ciò posto, ecco il nostro teorema fondamentale: 

 I. — Ogni insieme ben definito di punti di uno spazio ad un numero 

 finito o ad un'infinità numerabile di dimensioni, è la somma logica d'un 

 insieme numerabile di differenze fra insiemi chiusi ed insiemi di prima 

 categoria, completi, rispetto ad essi. 



Indicherò alcune applicazioni di questo teorema: 



3. Applicazioni alla teoria degl'insiemi. — Limiteremo le 

 nostre considerazioni agi' insiemi contenuti nel continuo lineare : la restri- 

 zione non è che apparente poiché si mostra agevolmente che ogni spazio ad 

 un insieme numerabile di dimensioni può rappresentarsi punto per punto sul 

 continuo lineare, in modo che insiemi chiusi si trasformino in insiemi chiusi, 

 ed insiemi non densi in dati altri in insiemi non densi nei trasformati di 

 questi. 



Se è ben definita una decomposizione di un insieme lineare in gruppi ( 3 ), 

 questi gruppi possono mettersi in corrispondenza biunivoca coi punti di un 



(') Un punto qualunque di uno spazio con un insieme non numerabile di dimensioni, 

 non può definirsi con un insieme numerabile di condizioni; esso esce quindi dal campo della 

 nostra concezione, o almeno cessa di essere capace di determinazione : esso non potrà mai 

 essere ben definito. L'opportunità di questa limitazione segue d'altronde dalla dimostra- 

 zione delle nostre proposizioni, su cui non possiamo qui trattenerci. 



( 2 J Cfr. Baire, 1. e, n. 59 e 61, ove però non è fatta distinzione fra gì' insiemi qui 

 chiamati completi, e gl'incompleti che definiremo tosto. 



( 3 ) Vale a dire, se i singoli gruppi sono insiemi ben definiti, e possono quindi con- 

 cepirsi separatamente l'uno dall'altro. 



