altro insieme lineare (*); si può allora costruire un insieme a due dimensioni, 

 formato dai punti di cui una coordinata è 1' ascissa di un punto dell' insieme 

 lineare dato, sulla retta che lo sostiene, e 1' altra è l' ascissa di uno dei punti 

 del secondo insieme lineare, che corrispondono ai gruppi cui quel punto 

 appartiene. 



Nel nuovo insieme corrispondono quindi ad ogni punto del dato tanti 

 punti quanti sono i gruppi cui tal punto appartiene, e su ogni retta su cui 

 è costante la seconda coordinata stanno i punti imagini di tutti i punti di 

 ud gruppo. 



A questo insieme si applica il teorema I e si ha che 



II. — Ogni gruppo è (essendo esso stesso un insieme ben definito) 

 della forma indicata nel teorema I e gli addendi dei singoli gruppi sono 

 segati dalle rette su cui la seconda coordinata è costante sugli addendi 

 analoghi dell 1 insieme totale. 



4. Dalla proposizione I segue facilmente la seguente, di minor conte- 

 nato, ma più semplice, e perciò spesso di più comoda applicazione: 



III. — Ogni insieme di punti è tignale ad un insieme chiuso e denso 

 nello spazio totale, aumentato di un insieme di l a categoria (completo) e 

 diminuito di un altro insieme di l a categoria, in generale, incompleto ; ovvero 

 è uguale alla differenza di due insiemi di l a categoria, tali che l'insieme 

 da sottrarsi è un insieme numerabile d' insiemi di l a categoria, incompleti 

 (in generale) rispetto ai singoli insiemi chiusi che costituiscono l'altro 

 insieme. 



(Un insieme numerabile è un insieme di l a categoria (completo) avente 

 per insiemi chiusi componenti i suoi elementi). 



Conseguenza immediata di questa proposizione è che ogni insieme non 

 numerabile di punti del continuo lineare ha la potenza medesima del con- 

 tinuo; donde la nota proposizione, da tempo enunciata dal sig. Cantor, ma 

 fin qui indimostrata: 



IV. — // continuo ha la seconda potenza ( 2 ). 



(') Fatto non evidente senz'altro, ma che risalta dai ragionamenti medesimi che ci 

 conducono al teorema I. Una decomposizione di questo genere si ha evidentemente nel- 

 l'insieme che rappresenta una funzione, secondo quanto sopra si disse. 



(•) Notiamo che in questa proposizione noi non vediamo altro che un'altra forma 

 della precedente: «ogni parte non numerabile del continuo ha la potenza del continuo». 

 Tale era anche il significato attribuito alla proposizione dal sig. Cantor quand'egli l'enun- 

 ciò la prima volta (V. Giornale di Creile t. 77, 1877, pag. 327); in seguito alle sue ricerche 

 posteriori il sig. Cantor crede di poter asserire di più che il continuo ha la potenza 

 della seconda classe di numeri (Math. Ann. 21, 1883, pag. 574). Questo noi non possiamo 

 affermare: solo possiamo dire che la potenza del continuo e quella della 2 a classe di 

 numeri non possono essere V una maggiore dell'altra: se esse sono paragonabili, sono 

 uguali. 



Rendiconti. 1900, Voi. IX, 2° Sem. 10 



