— 76 — 



5. Applicazioni analitiche. — Sia y = f(x) una funzione della 

 variabile se ; tanto x quanto y potranno indifferentemente essere reali o com- 

 plesse: per le applicazioni successive noi le supporremo complesse. Conside- 

 riamo uno spazio a 4 dimensioni riferito a due piani coordinati : il piano delle x 

 e quello delle y; ad ogni coppia di valori corrispondenti di x e di y fac- 

 ciamo corrispondere il punto che ha per proiezioni sui due piani coordinati 

 le due imagini di Gauss dei detti valori di x e di y. Avremo nell' S 4 un insieme 

 imagine della funzione. 



Supponiamo ora che la f(x) sia definita per tutti i valori della x : la 

 projezione di detto insieme sopra il piano delle x copre allora 1' intero piano. 

 Ora detto insieme è (!) la somma logica di un insieme numerabile di diffe- 

 renze fra insiemi chiusi ed insiemi di l a categoria rispetto a questi. La 

 projezione dell' insieme totale sul piano delle x sarà la somma logica delle 

 projezioni degl' insiemi parziali; e affinchè tal somma possa coprire l'intero 

 piano delle x è necessario che almeno una parte di queste projezioni siano 

 insiemi densi su questo piano o su un insieme di regioni di questo piano ('). 



Segue di qui agevolmente che, se la f non è infinitivoca vale il teo- 

 rema seguente analogo a III : 



V. — V insieme rappresentativo della funzione y — f(x) è uguale ad 

 un insieme chiuso la cui projezione sul piano delle x copre l' intero piano, 

 aumentato di un insieme la cui projezione è un insieme di l a categoria 

 (completo) rispetto al piano, e diminuito di un insieme la cui projezione 

 è un insieme di l a categoria incompleto (in generale). 



6. Applicheremo questa proposizione a completare la risoluzione di alcune 

 equazioni funzionali. 



La risoluzione di equazioni funzionali ha occupato più volte i matema- 

 tici ; ricordiamo, ad esempio, le equazioni <p(x -\- y) — <p(x) -f- <p(y) , 

 <p(x -j- y) (f(x — y) = 2(p(x) <p(y) che si presentano nella risoluzione di 

 questioni geometriche e meccaniche. Le risoluzioni di queste e di parecchie 

 altre equazioni analoghe troviamo raccolte nell' Analyse Algébrique del Cauchy 

 (pag. 98-113) sotto l'ipotesi della continuità della funzione y> incognita, e 

 un metodo generale per la risoluzione di una classe estesissima di equa- 

 zioni funzionali ad una o più funzioni incognite ci è dato dall' Abel ( 2 ) sotto 

 l' ipotesi, non solo della continuità, ma ancora della derivabilità delle fun- 

 zioni incognite (potendo anzi la derivazione ripetersi parecchie volte). 



Noi possiamo ora, in molti casi, rimuovere la coudizione della continuità 

 sostituendola con questa sola che la funzione sia univoca e definita per tutti 



(') Come si vede, p. e., con un ragionamento analogo a quello del sig. Baire 1. c. 

 n.° 59. 



( 2 ) V. Oeuvres, Ohristiania, 1881, t. I, pag. 1. Méihode générale pour trouver les 

 fonctions d'une seule quantité variable, lorsqu 1 une propriété de ces fonctions est exprimée 

 par une équation entre deux variables. 



