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i valori della variabile. In conseguenza della proposizione V noi possiamo 

 infatti enunciare ancora la seguente ('): 



VI. — Sia (f(a) =F [<sp(/?), <p(y), ...,%,y,...~\ un equazione funzionale 

 in cui F è una funzione continua data delle variabili indicate nella paren- 

 tesij (p è una funzione da determinarsi, x, ?/,... sono valori arbitrari della 

 variabile; a, sono funzioni continue date di oc, y, . . . ed a è tale 



che, per ogni suo valore,, si possono far variare con continuità x, y, . . . 

 per modo che, il valore di a restando fisso, variino quelli di /?, y, . . . ; 

 se infine come si disse, la funzione y> deve essere definita per tutti i valori 

 della variabile ( 2 ) ; la funzione medesima è continua. 



Soddisfanno a queste condizioni le equazioni funzionali citate e le altre 

 considerate dal Cauchy e dall' Abel (fra queste, soltanto quelle con una sola 

 funzione incognita). 



7. Un altro risultato notevole, relativo alla teoria delle funzioni, discende 

 dall' enunciato I. 



Ricordiamo anzitutto che chiamasi oscillazione di una funzione f(x) in 

 un punto la differenza fra il suo massimo (limite superiore) e il suo minimo 

 (limite inferiore) in quel punto ( 3 ). Il sig. Baire ( 4 ) dimostra che condizione 

 necessaria e sufficiente perchè 1' oscillazione di una funzione abbia il suo mi- 

 nimo — rispetto ad ogni insieme perfetto — nullo in ogni punto (sia punteggiata 

 discontinua rispetto ad ogni insieme perfetto) è che la funzione medesima 

 sia rappresentabile mediante una serie di funzioni continue. Il sig. Baire chiama 

 queste funzioni di classe 1, chiamando di classe le funzioni continue; estende 

 allora questo concetto di classe di una funzione, definendo funzioni della 

 classe i -j- 1 quelle che si possono rappresentare mediante serie di funzioni della 

 classe i e non mediante serie di funzioni di classe inferiore. Egli studia poi 

 le funzioni della classe 2 e dimostra che: se si considerano ì valori di 

 una tal funzione in tutti i punti di un insieme perfetto, dopo aver 

 esclusi quelli che corrispondono ai punti di un conveniente insieme di prima 

 categoria rispetto a questo insieme perfetto, e si determina V oscillazione 

 della funzione residua, il minimo {limite inferiore) di questa oscillazione 

 in ogni punto dell' insieme perfetto è nullo. Si può però vedere facilmente 

 che questa proposizione non è caratteristica per le funzioni di classe 2 e che 

 anzi, ammessa per le funzioni di classe i, si dimostra per quelle di classe 



(') Proposizioni analoghe si hanno per equazioni funzionali più complesse di quelle 

 considerate in questo teorema. 



( 2 ) Si noti che questa condizione è essenziale, non solo alla dimostrazione, ma alla 

 verità della proposizione (Cfr. l'ultima nota del n. 8). 



( 3 ) Cfr. Baire, \. e, n. 11. — Du Bois-Reymond, 1. c. pag. 229. 



( 4 ) L. c. Cap. II, § II e III. V. in particolare la conclusione alla fine del n. 54. 



