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i -f- 1. Il sig. Baire infatti, estendendo ancora per limite il concetto di fun- 

 zioni di classe i a valori transfiniti di i, enuncia che (') la proprietà sopra 

 enunciata è vera per tutte le funzioni che ammettono il concetto di classe. 

 Noi, in forza del teorema I (o del suo trasformato II), possiamo dire di più 

 che la proposizione sopra enunciata è vera per tutte le funzioni. 



8. Un'applicazione geometrica. — Chiamiamo corrispondenza 

 armonica fra gli elementi di due forme di l a specie (che noi rappresente- 

 remo nei punti di una retta) ogni corrispondenza fra questi elementi in cui 

 ad ogni gruppo armonico dell' una forma corrisponda nell' altra un gruppo 

 armonico. 



Finché non si considerano che forme reali, il teorema di v. Staudt c' in- 

 segna che la sola corrispondenza armonica è la proiettività. Quando invece 

 si considerano forme complesse, accanto alle proiettività troviamo le antiproiet- 

 tività, messe in evidenza e studiate dal prof. Segre ( 2 ). Sono ora queste le sole 

 corrispondenze armoniche fra forme complesse, ovvero altre ne esistono ? ( 3 ). 

 Le cose che precedono ci mettono in grado di rispondere negativamente alla 

 2 a parte della domanda: dobbiamo perciò ricordare brevemente le ricerche 

 precedenti sopra questo argomento. 



È noto come la dimostrazione di v! Staudt del suo teorema fondamentale 

 sia incompleta richiedendo, per esser ritenuta esatta, oltre l' ipotesi della con- 

 tinuità della retta, quella della continuità della corrispondenza ( 4 ). A com- 

 pletarla il sig. Darboux ( 5 ) osserva che, mediante trasformazioni projettive, la 

 ricerca di tutte le corrispondenze armoniche può ridursi a quella delle cor- 

 rispondenze armoniche fra i punti di una stessa retta in cui tre punti sono 

 uniti: se questi sono i punti di coordinate 0,1, oo, e se y = <f>{x) è l'equa- 

 zione della corrispondenza, sarà allora 



^(0) = (p(l) = l 9)(oo) = a> 



Il sig. Darboux dimostra che si deve inoltre avere 

 (1) <p(x + y) = <f(z) + <p(y) , ^) = [_ip{x)J (2) 



(') Sur la théorie des fonctions discontinues. Comptes Rendus, 11 dèe. 1899, 

 t. CXXIX, n. 24. 



( 2 ) Un nuovo campo di ricerche geometriche. Atti dell' Acc. delle Se. di Torino, XXV, 

 1890. 4 Note: v. in particolare la Nota l a . Giova notare col prof. Segre che la differenza 

 fra projettività e antiprojettività si manifesta soltanto quando le forme sono sovrapposte. 



( 3 ) V. la questione proposta dal prof. Segre nell' « Intermédiaire des mathématiciens » 

 (t. I, 1894, question 322, pag. 182). 



( 4 ) V. Klein, Nachtrag zu dem zweiten Aufsatze- ù. Nicht-Eukl. Geom. Math. 

 Ann. VII. 



( 5 ) Sur le théorème fondamental de la géométrie projective. Math. Ann. XVII, 1880. 



