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Da queste due equazioni funzionali seguono anche le precedenti relazioni, 

 ed ammettendo che x ed y siano reali (corrispondenza fra i soli punti reali) 

 il sig. Darboux prova che dalle (1) e (2) segue 



<p(x) = x . 



Se ora, conservando tutte le altre ipotesi, si ammette di poter dare ad x 

 valori complessi e si indica con x il numero complesso conjugato di x, si 

 vede, col prof. Segre, che la y ammette le due forme 



(f{x) = x , <f(x) = x ; 



onde le proj etti vita e le antiprojettività. 



Ma togliamo la condizione che ad x reali corrispondano (p(x) reali; sa- 

 ranno ora possibili nuove forme per la <p(x)? 



Osserviamo che 1' equazione (I) soddisfa alle condizioni dell'enunciato VI; 

 se adunque la funzione (p dev' esser definita per tutti i valori di x, deve 

 essere continua ( 1 ). Donde subito che y>(x) avrà la forma (supposto x com- 

 plesso ed uguale a £ -}~ ir]). 



$p(£ -j- irj) = a£ -f- ibt] (a e b costanti reali o complesse) 



e dovendo essere soddisfatta la (2) 



<jp(£ + tv) ~ % + lr l ovvero — £ — ir). 



VII. — Le sole corrispondenze armoniche sulla retta complessa 

 sono le projettioità e le antiprojettività. 



(') L'ordinaria geometria projettiva considera, come abbiamo fatto qui, la retta com- 

 pleta con tutti i suoi punti razionali ed irrazionali (e lo stesso dicasi per tutte le forme): 

 però è evidente che, tolte le poche proposizioni, che, come questa di v. Staudt richie- 

 dono la continuità, essa si può costruire con forme incomplete; e per esempio, se 

 non si studiano che formazioni algebriche, non occorrerà attribuire alla retta che i soli 

 punti algebrici (reali o complessi). Si può, in queste ipotesi, mostrare che sono possibili 

 infinite corrispondenze armoniche discontinue. Si vede così come sia essenziale l' ipotesi 

 che la funzione rp sia definita per tutti i valori razionali e irrazionali di x per poterne 

 affermare la continuità. 



