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Un teorema fondamentale, dovuto allo stesso Ribaucour, e che fa perfet- 

 tamente riscontro al teorema di Beltrami nel primo modo di deformazione, 

 è dato dalla proposizione seguente: 



Se in una particolare forma di 2 la congruenza C ammette una superficie 

 ortogonale S (e quindi infinite), lo stesso avverrà, comunque deformando la 2 ; 

 ed anzi il luogo dei medesimi punti di S, trasportati invariabilmente coi 

 raggi di C nelle flessioni di 2 , rimarrà sempre una superficie normale ai raggi. 



Ciò premesso, noi supponiamo di più che la superficie S, in una partico- 

 lare configurazione della congruenza C, sia una superficie d' area minima, 

 ovvero abbia costante la curvatura assoluta K, e domandiamo di risolvere il 

 problema seguente : 



Come deve essere scelta la superficie 2 e la congruenza C di raggi 

 (giacenti al modo di Ribaucour nei piani tangenti di 2), affinchè la su- 

 perficie S normale ai raggi di C rimanga, in tutte le flessioni di 2 , una 

 superficie d'area minima ? ovvero serbi sempre la stessa curvatura co- 

 stante K? 



Nella presente Nota, sopprimendo tutte le dimostrazioni, che troveranno 

 posto in più ampio lavoro, indico la soluzione completa del problema, che 

 conduce a classi di superficie applicabili, collegate in modo singolare, dalla 

 costruzione del problema stesso, colle superficie d'area minima e con quelle 

 di curvatura costante 



La più notevole di queste classi è quella definita dall'elemento lineare 



ds* = e 2c dui + \ c + 2 ( u + y ) * 2 1 dv *> 

 dove e è una costante. Le superficie di questa classe vengono a collegarsi, 

 in modo inaspettato e singolare, coi sistemi tripli ortogonali contenenti una 

 serie di superficie a curvatura costante. 



2. Escludiamo il caso in cui i raggi della congruenza C passano pei 

 rispettivi punti di contatto dei piani tangenti 2 , la risposta alla questione 

 proposta essendo allora già implicitamente contenuta nel teorema di Wein- 

 garten, che ci fornisce in questo caso come superficie 2 le evolute delle su- 

 perficie d'area minima, o quelle delle superficie a curvatura costante. 



In ogni piano tangente ti di 2 conduciamo, pel punto M di contatto, 

 la perpendicolare MP sul raggio r della congruenza C, ivi tracciato. Assu- 

 miamo sulla 2 a linee coordinate u = cost. quelle inviluppate dalle dette 

 perpendicolari MP e a linee v = cost. le loro traiettorie ortogonali, le cui 

 tangenti riescono dunque rispettivamente parallele ai raggi di C. Indicando 



(') Nel caso delle superficie S a curvatura costante, il Darboux ha già trovato come 

 forma possibile di elemento lineare per le superficie - quello di una quadrica (immagi- 

 naria) tangente in un solo punto al circolo immaginario all' infinito (Comptes rendus de 

 l'Académie, 27 mars 1899). Della relazione fra i miei risultati attuali e quelli di Darboux 

 tratterò nella estesa Memoria che sto preparando- 



