— 187 — 



poi con fx il punto, ove il raggio r sega normalmente la superfìcie S, poniamo 



A — MP , T = P,u ; 



saranno A, T due funzioni di u, v, che basterà conoscere per avere perfet- 

 tamente definita la congruenza C, e la superficie S normale ai suoi raggi. 



a) Ciò premesso, se consideriamo dapprima il caso di una superficie S 

 d'area minima, abbiamo: La soluzione più generale del problema proposto, 

 quando la superficie S debba mantenersi costantemente ad area minima, 

 è data dalle superficie I d'elemento lineare 



ds 2 = a 2 \du 2 -f- {2u + 2v + be 2v ) dv 2 \ , 



indicando a, b due costanti. 



Quando b — questo elemento lineare appartiene ad una superficie di 

 rotazione e precisamente alla complementare del paraboloide ; i raggi di C 

 escono dai punti della deformata del paraboloide e costituiscono la con- 

 gruenza C associata al paraboloide nel primo teorema di Guichard ('). 



Se £={=0, sostituendo alla I una sua omotetica, possiamo fare 



( 1 ) ds 2 = du 2 + (2 u ; + 2 v + e 2r ) dv 2 



e le formolo cbe definiscono A, T sono 



A = j/2u + 2v + e ìr , T =~ — (u-\-v). 



È noto come la classe completa delle superficie d'elemento lineare (1) è 

 stata determinata da Weingarten ( 2 ). Ciò che di nuovo vi si aggiunge colle 

 presenti ricerche è il legame geometrico di queste superficie di Weingarten 

 colle superficie d'area minima, legame sul quale ritorniamo nel n. seguente 

 trattando il problema d' inversione. 



b) Veniamo ora al secondo caso, in cui la superficie S debba man- 

 tenere costante la curvatura K. Allora troviamo due classi distinte di su- 

 perficie I che risolvono il problema: Le superficie £ della prima classe 

 sono quelle d'elemento lineare 



(2) ds 2 = e 2T du 2 + Ce- 2 " j— e 2T + |rj dv 2 , 



essendo x = av — (a -f- 1) u ed a, C due costanti arbitrarie ; si ha inoltre 



A = 1/G = V Ce- 2 " — e 2 " + - 



_ [ « + 1 



T = j/E = 



( 1 ) V. la mia Memoria citata (Prefazione). 



( 2 ) Comptes rendus de l'Académie, t. CXII, pag. 607 et 706; v. Darboux, Legons, 

 t. IV, pag. 308 ss. 



