— 188 — 



Quando C = la superficie E d'elemento lineare (2) è applicabile sopra 

 una superficie di rotazione, e la sua complementare è applicabile sopra una 

 delle cinque superficie fondamentali di rotazione considerate nella mia citata 

 Memoria e corrispondenti alle superficie di curvatura costante (cfr. partico- 

 larmente § 8, Mem. e). I l'aggi della congruenza escono dai punti della 

 deformata di una di queste cinque superficie e costituiscono la congruenza 

 ad essa associata (1. e). 



Se C =}= 0, si può fare, senza alterare la generalità, C = rt 1 e resta 

 anche in questo caso nell'elemento lineare (2) un solo parametro essenziale, 

 la costante a. 



Ma nel caso attuale di una superficie S a curvatura costante K abbiamo 

 una seconda classe di superficie 2, che risolvono il problema proposto : 



Le superficie 2 di questa seconda classe hanno l'elemento lineare 



(3) ds* = e~ 2v du 2 -f j 2 (y — u) e~ 2v 



e si ha anche qui 



A = \/G = j/2 (v — u) e~ 2v 

 T = j/E =*= e~ e ■ 



3. Da quanto sopra abbiamo detto, risulta una costruzione geometrica 

 per dedurre da una superficie nota 2 d'elemento (1) di Weingarten una super- 

 ficie S d'area minima, ovvero da una superficie nota 2 d'elemento lineare (2) 

 (3) una superficie a curvatura costante K. Ma il problema più interessante 

 è quello che dà l' inversione di questi risultati. Supponiamo cioè data una 

 superficie S d'area minima, ovvero a curvatura costante K, e domandiamo 

 di condurre per ogni normale di S un piano in guisa che l' inviluppo di 

 questi oo 2 piani sia una superficie 2 d'elemento lineare (1) nel primo caso, 

 ovvero (2) (3) nel secondo, e tale di più che la 2 stia colla S precisa- 

 mente nella relazione geometrica del numero precedente. Ho già risoluto pre- 

 cedentemente il problema d' inversione nei due casi particolari seguenti : 



1° per una superficie S d'area minima, quando l' inviluppo 2 dei piani 

 condotti per le sue normali debba avere l'elemento lineare della complemen- 

 tare del paraboloide 



ds 2 = du 2 -f- 2 (u -f- v) dv 2 . 

 2° per una superficie S a curvatura costante K quando 1' elemento 

 lineare dell' inviluppo I debba avere la forma (2) con C = ('). 



La risoluzione del problema speciale si è vista dipendere dalla integra- 

 zione di un sistema illimitatamente integrabile di equazioni simultanee alle 



K 



(') V. la mia Nota nei Rendiconti (settembre 1899) e la Memoria più volte citata. 



