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derivate parziali, di guisa che da una medesima superfìcie S derivano oo s su- 

 perfìcie 2 . 



Del tutto analogo è il risultato nel caso generale, di cui ora trattiamo. 

 Ed anzi, quando la superfìcie E debba avere l'elemento lineare (1) di Wein- 

 garten, ovvero 1" elemento (2), l' indicato sistema di equazioni simultanee 

 rimane lo stesso; il caso speciale si distingue dal generale per questo sol- 

 tanto che nel primo occorre annullare una delle costanti d' integrazione, alla 

 quale è da attribuirsi invece nel secondo un valore non nullo. 



Scriviamo le equazioni dell' indicato sistema sotto la forma più generale, 

 in guisa da abbracciare tutti i casi possibili. Per ciò riguardiamo le superfìcie 

 d'area minima e le superfìcie a curvatura costante, insieme colle loro paral- 

 lele, come appartenenti ad un' unica classe di superficie, nelle quali i raggi 

 principali di curvatura ri , r 2 sono legati fra loro da una relazione bilineare, 

 simmetrica : 



(4) ar x r 2 + b (,\ -f r 2 ) -f o = 



a coefficienti costanti a, b, c ('). Inversamente si vede subito che ad una tale 

 superfìcie è parallela una superfìcie minima, se a = 0, ed invece una super- 

 fìcie a curvatura costante per a ={= . Abbiasi ora una superfìcie S, riferita 

 ad un sistema qualunque di coordinate u, v, e siano nelle solite notazioni: 



ma' -f 2 F du dv -f Gdo 2 



le sue due forme quadratiche fondamentali. Indicando con d> , W due fun- 

 zioni incognite di u, v, e con «, /?, y tre costanti, si consideri il seguente 

 sistema di equazioni simultanee alle derivate parziali per CP,W: 



( f u = («E + /SD) <2> -f (/?E + yB) W 



(A) 0> 12 ^ («F -f-/?D')0> + OSF + yD') W 



( <p 22 = («G +/3D") <f> + (£G + yV") W 



GD — FD' ED' — FD ^ 



EG — F 2 ìu + EG — F 2 7>y 



GD f — FD" DO , ED" — FD' Dd> 



EG — F 2 ~òu + EG — F 2 



dove d>n, tf> 12 , d>22 sono le derivate seconde covarianti della funzione Q>, 

 costruite rispetto alla prima forma fondamentale ( 2 ). Si osserverà subito il 



(') Escludiamo, come privo d' interesse, il caso in cui si annulli il determinante b 1 — ac 

 della relazione bilineare. Allora è costante uno dei raggi di curvatura, cioè la S è una 

 superfìcie canale. 



( 2 ) V. le mie Lezioni di geometria differenziali, cap. II. 



(B) 



Du 



tv 



