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carattere invariantivo di questo sistema rispetto alle trasformazioni di coor- 

 dinate. 



Ora, se si scrivono le condizioni d'integrabilità pel nostro sistema (A), (B), 

 si trova che esse sono identicamente soddisfatte allora, ed allora soltanto 



quando fra la curvatura assoluta K = — e la media H = — -4- — della 



superficie S sussista la relazione lineare intera 



(5) (/ -f-i)K_^H + « = 0, 



che è evidentemente appunto una relazione fra r x , r 2 della forma (4) sopra 

 considerata Viceversa, se la (4) è data, possiamo prendere le costanti 

 «, /?, y in (5) in guisa da identificarla colla (4); anzi una delle tre costanti 

 «, /?, y resterà arbitraria e le altre due saranno funzioni lineari intere di questa. 

 Scelte a, /?, y in questo modo opportuno, il sistema (A), (B) sarà illimita- 

 tamente integrabile e nella sua soluzione più generale ((P , W) entreranno 

 quindi quattro costanti arbitrarie, cioè i valori iniziali di 



. _ 7><X> ^<I> 

 <Z> , W , , 



l>u Dv 



per un sistema iniziale (u , v ) di valori delle variabili indipendenti u, v. 

 È poi da osservarsi che, in virtù delle (A), (B) stesse, l'espressione 



J l <P — a(D 2 — 2/?<PW — yW 2 (-) 



è in ogni caso una costante C; si ha dunque: 



(6) J, $ = a(P°- + 2p<PW + yW°- + C . 



Ciò premesso, la soluzione del problema d' inversione, nel caso delle 

 superficie S d'elemento lineare (1) o (2), è data dal seguente teorema: 



Prendasi una coppia qualunque (<P , W) di soluzioni del sistema (A), (B) 

 e si considerino i piani normali alle linee <Z> = cost. della superficie S; 

 la superficie S inviluppo di questi co 2 piani avrà appunto V elemento 



(') La (5) è un' identità solo quando 



« =L jS = , y = — 1 ; 



allora le equazioni (A), (B) del testo diventano le equazioni fondamentali della teoria 

 della superficie, ove si faccia 



x, y, z 

 W== — X, — Y, — Z. 



V. Lezioni, ecc., cap. R ). 



( 2 ) Con J t # si indica il parametro differenziale primo della funzione # , costruito 

 rispetto alla prima forma fondamentale, cioè : 



