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lineare (1) di Weingarten se a = (ossia a = 0), ed invece l'elemento 

 lineare (2) per a =f= 0. 



Per scrivere le forinole che danno in termini finiti l' inviluppo 2 , indi- 

 chiamo con (<£, y, s) le coordinate di un punto di S, con (X, Y, Z) i coseni 

 di direzione della normale, ed infine con (£, rj, le coordinate del punto di £ 

 corrispondente al punto M di S; avremo per le formole richieste: 



* - ^T^v \ J i*> *> + w + yW) x j 



dove il simbolo J (x, 4>) indica il parametro differenziale misto delle fun- 

 zioni G . costruito rispetto alla prima forma fondamentale, e analogamente 

 per J (y, <P), J (*, 0>). 



La superficie 2 definita dalle (I) avrà dunque l'elemento lineare (1) se 

 a = ed invece l'elemento lineare (2) per « =j= 0. In particolare, se la solu- 

 zione scelta (<Z> , W) del sistema (A), (B) è tale da annullare nella (6) la 

 costante C, la nostra superficie S sarà applicabile sopra una superficie di 

 rotazione, e precisamente sulla complementare del paraboloide se a — , 

 o sulla complementare di una delle cinque superficie di rotazione ricordate 

 al n. 2 quando ce =j= . 



4. Dalle considerazioni del numero precedente sono rimaste escluse le 

 superficie E d'elemento lineare (3). Per queste la soluzione del problema 

 d' inversione è alquanto più riposta, ma altrettanto più notevole. 



Essendo ora S una superficie a curvatura costante K, si consideri il 

 seguente sistema illimitatamente integrabile d'equazioni simultanee alle deri- 

 vate parziali seconde per una funzione incognita 4> (u, v): 



[ <r> u = cB — KE<P 



/j^ ] <P 18 = cD' — KF<2> 



| 0> 22 == C D" — KGO> , 



ove c indica una costante che, se non è nulla, può farsi senza nuocere alla 

 generalità = 1 ( 1 ). La soluzione più generale <P di questo sistema, del cui 



( l ) Questo sistema (D) può farsi derivare dal sistema (A) nel modo seguente : Si 

 osservi che se in (A) non è simultaneamente /3 = ;' = 0, non alteriamo in sostanza (A), 

 se aggiungiamo ai tre secondi membri che eguagliano "fu, #, 2 , #22 rispettivamente i 

 termini 



cD,cD',cD" (c cost.), 



come si vede, cangiando * in *-f~ cos t:-> ovvero W in W-)-cost., ciò che non altera il 



