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significato geometrico parliamo in appresso, contiene tre costanti arbitrarie. 

 Ora il problema d' inversione per le superficie 2 d'elemento lineare (3) si 

 risolve mediante le soluzioni del sistema (D) col seguente teorema: 



Se <2> (u, v) è una particolare soluzione del sistema (D), i piani nor- 

 mali alle linee ® — cost. sulla superficie S di curvatura costante K in- 

 viluppano una superficie E d'elemento lineare (3). 



Le forinole che danno, in termini finiti, la superficie inviluppo 2 , colle 

 notazioni stesse del n. 3, sono le seguenti: 



Osserviamo ora che il sistema (D) nel caso c = si riduce al ben 

 noto sistema, considerato la prima volta da Weingarten, per la integrazione 

 completa del quale è sufficiente la conoscenza delle linee geodetiche di S 

 Le proprietà dei sistemi lineari dimostrano che, note le geodetiche di S, 

 bastano quadrature per integrare il sistema (D) nel caso c ={= . 



Ne concludiamo : Da ogni superficie S a curvatura costante K, sulla 

 quale siano note le linee geodetiche, si deducono con quadrature oo 3 su- 

 perficie d'elemento lineare (3). 



Veniamo infine al significato geometrico del sistema (D), che collega 

 le superficie 2 d'elemento lineare (3) coi sistemi tripli ortogonali più generali, 

 contenenti una serie (S) di superficie, ciascuna delle quali ha costante la 

 curvatura Se S è una di queste superficie colla curvatura costante K, 

 la distanza infinitesima, valutata sulla normale di S, fra questa superfìcie 

 e la successiva nella serie (S) è proporzionale ad una funzione <P (u, v) che 

 soddisfa appunto al sistema (D). In tal caso le linee <P = cost. sono sopra S le 

 linee di equidistanza e quindi i piani normali delle linee 4> = cost. coinci- 

 dono coi piani osculatori, nei punti di S, delle traiettorie ortogonali delle 

 superficie a curvatura costante. 



Per tal modo veniamo a stabilire la seguente singolare proprietà dei 

 sistemi tripli ortogonali in discorso: 



sistema (B). Ora, se nel sistema (A), così modificato, si pone p = y = , e conseguente- 

 mente per la (5) a — — K (K cosi), otteniamo appunto il sistema (D). 



(') V. Lezioni, § 311, pag. 525 



( 2 ) V. Lezioni, cap. XX. 



