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h = n — q fra S , S' : essendo coniugati in questa reciprocità due iperpiani che 

 seghino i due \_q~\ (singolari) secondo due [_q — 1] coniugati nella prima cor- 

 relazione. Rappresentiamo la reciprocità tra S , S' con un' equazione bilineare : 



quella che lega due iperpiani £ , rj quando sono coniugati. Dire che la reci- 

 procità è degenere di specie h equivale a dire che il determinante |« ift | ha 

 nulli tutti i minori d' ordine n — h -j- 2. Dando poi delle coppie d' iperpiani 

 coniugati si vengono a dare altrettante equazioni lineari fra le a^ . Potremo 

 dunque enunciare il risultato precedente così: 



Le reciprocità degeneri di specie h fra due S„ costituiscono una va- 

 rietà di dimensione n 2 -\- 2n — ■ h 2 e d'ordine (3). Od anche: 



Uguagliando a zero tutti i determinanti di un dato ordine n — h -j- 2 

 estratti da una matrice quadrata \a^\ (i , k~ , 1 . . . n) , si viene a porre, 

 fra gli elementi di questa matrice, un sistema di equazioni (equivalente 

 ad h 2 equazioni indipendenti) il cui ordine è dato dalla formola (3). 



Assumendo le a^ come coordinate omogenee di punti in uno spazio 

 [n 2 -f- 2n}, abbiamo così ottenuto in questo spazio una serie di n varietà 

 V (ft) (h = 1 , 2 , . . . n) di dimensione n 2 -j- 2n — h 2 e d' ordine (3) ; le quali, 

 se i punti stessi si prendono come imagini delle reciprocità y_ai k r] h tra 

 S , S', rappresenteranno le reciprocità degeneri di specie li. Ciascuna di esse con- 

 tiene le varietà seguenti. In particolare la V°\ d'ordine n-\-\, è definita 

 dall' equazione 



|«flk| = 0; 



essa dà V (2) , V (3) , . . . V (n) come luoghi risp. dei suoi punti doppi, tripli, 

 . . . w-pli. La V (n) , di dimensione 2n e d' ordine (2n) n , è l' imagine del si- 

 stema delle forme bilineari riducibili (prodotti di una forma delle £ per 

 una forma delle ry), cioè si rappresenta parametricamente per mezzo delle 

 forinole (coi parametri indipendenti x , y) 



d'in — ^iVh ■ 



Già nel 1891 io avevo considerato (') queste due varietà e la rappresen- 

 tazione delle reciprocità tra due S n coi punti di \_n 2 -\- 2n\ : rappresen- 

 tazione che ottenevo anche geometricamente ricorrendo alle due schiere oo" 

 di S„ giacenti nella V (n) ( 2 ). Più recentemente il sig. S. Kantor ( 3 ) ha in- 



(') Sulle varietà che rappresentano le coppie di punti di due piani o spazi. Kend. 

 Circ. mat. Palermo, voi. 5 ; Le rappresentazioni reali delle forme complesse e gli enti 

 iper algebrici. Matti. Annalen, t. 40. 



( 2 ) Per n = 1 è la rappresentazione delle omografie binarie coi punti dello spazio 

 ordinario, trattata da C. Stéphanos, Matta. Annalen, t. 22, 1883. 



( 3 ) Theorie der Aequivalenz von linearen co 1 — Schaaren bilinearer Formen. Sit- 

 zungsberichte d. k. bay. Akad. Miinchen, t. 27, 1897 ; Theorie der Elementartheiler ho- 

 herer Stufen. Monatshefte f. Matti, u. Ph. t. 11, 1900. 



