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Ora, se vogliamo l'ordine del sistema di equazioni che si hanno annullando 

 tutti i determinanti d'ordine q + 2 estratti dalla matrice delle a ik , basterà 

 (come al n. 2) che cerchiamo il numero delle soluzioni, quando si aggiungano 

 (q-{-l) (m -j- ri) — q- equazioni lineari fra quelle indeterminate, del tipo 

 X a ih fi = , ove le £ e rj sian date. Dunque, per quanto abbiamo detto 

 prima, si tratterà di vedere quante sono le coppie di [_q], giacenti risp. in 

 S m e S„, tali che tra i due [g] di una coppia esista una correlazione per 

 cui siano coniugate le tracce \_q — 1] di quelle coppie d' iperpiani dati £,-*}. 

 E in base al n. 1 concludiamo che la (2) ci darà quell'ordine; cioè: 



Scrivendo che una matrice di m-\-l colonne ed n -j- 1 linee è del 

 rango q -J- 1 , si viene a porre fra i suoi elementi un sistema di equa- 

 zioni [equivalente a (m — q) (n — q) equazioni indipendenti] il cui ordine 

 è espresso dalla formola (2). 



Anche qui, se le ai k si assumono come coordinate di punti in uno 

 [mn -f- m -J- ri], si ottiene in questo spazio, se è ad es. m^K, una serie 

 di n varietà V (/i) (h = 1 , . . . ri), in tutto analoghe a quelle del n° pre- 

 cedente, ma più generali. La V° !> , che si ha annullando i determinanti di 

 secondo ordine, cioè scrivendo che la forma lineare T fi rj k è riducibile, è 

 una varietà di dimensione w-J-w e d'ordine (m-\-ri) m , rappresentata para- 

 metricamente colle forinole a^ = Cd yn , e già studiata da me nella citata 

 Nota di Palermo. Le altre varietà si deducono da essa risp. come luoghi: 

 delle sue corde, dei suoi piani trisecanti, . . . , dei suoi S 9 (q -j- l)-secanti ('). 



4. Invece di una matrice quadrata con elementi completamente indeter- 

 minati, come s' è considerata al n. 2, si può prendere una matrice quadrata 

 simmetrica, e fare per essa le ricerche analoghe alle precedenti. 



Perciò ricorriamo ad un' altra formola del sig. Schubert, enunciata nel 

 1891 ( 2 ), e più tardi dimostrata come corollario di una più generale nell'im- 

 portante Memoria relativa ai numeri delle quadriche di varie dimensioni 

 soddisfacenti a date condizioni fondamentali : « Il numero delle quadriche 



« di dimensione q — 1 giacenti in S„ e tangenti a n (q -J- 1) — - ^ — - ■ 



a 



« iperpiani è espresso da 



1 ( H) 2"-g[l!3!...( g -l)!].r(2^-2 g + 2)!(2/f-2y + 4)!...(2«- g )!l 

 ] + j + 2)l...(n-l)!»! 



1 ) (aimnarù [0!21...( g -l)l].[(2«-2 g + l)! (2> f -2y + 3)!...(2«-y)!] 

 f W m P an > („ _ q) ! (» _ q 4. 1) ! ... (» _ 1) ! n \ 



(') In fatti, se la matrice delle a» ha il rango q -f- 1 , la forma bilineare corrispon- 

 dente si può rappresentare come somma di q -\- 1 forme riducibili : ciò si vede ancora, 

 come nel caso del n. 2, assumendo i due \(f\ singolari come spazi fondamentali per le 

 coordinate di S m , S» . 



( 2 ) Miiteil. aus d. abzàhlenden Geom., Jahresb. der Deutsch. Math. Verein. 1, 1890-91. 



( 3 ) Allgemeine Anzahlfunctionen fur Kegelschnitte, Flàchen und Rimine zweiten 

 Grades in n Dimensionen. Math. Annalen, t. 45, 1894. 



