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di W (n) (cfr. la fine del n. 2 o 3). D'altra parte le stesse varietà si possono 

 evidentemente definire partendo dalla W (1) , cioè dalla forma — discriminante 



| «»» | = , 



come luoghi risp. dei suoi punti doppi (W (2) ), tripli (W (3) ) , ... , %-pli (W (w) ). 

 Per n = 2 si ritrovano in S 5 la superficie F 4 e la varietà M4 studiate dal 

 sig. Veronese e da me. 



5. Le precedenti determinazioni di ordini possono applicarsi a varietà 

 rappresentate in modo analogo a quelle di cui si è trattato, ma colla diffe- 

 renza che le fljjt , invece di essere variabili indipendenti, sian legate fra loro 

 in dato modo. Si può dire che in tali casi si hanno da segare le varietà V 

 W dei n' precedenti con varietà definite dai dati legami tra le a. 



Così si supponga nel n. 3 che le sian date forme lineari di d -f- 1 

 variabili indipendenti x x x . . . xa- Allora, annullando i determinanti d'or- 

 dine n -J- 1 estratti dalla matrice di m -\- 1 colonne e n-\-l linee, 

 ove m^n, abbiamo nello S<j dei punti x una varietà di dimensione 

 d — m -J- n — 1 (supposta > 0) e d' ordine (in -f- 1)„. È il tipo generale delle 

 varietà generate con forme fondamentali proiettive, studiate dal Veronese 

 (Math. Annalen, 19), e ricomparse anche ultimamente in vari casi partico- 

 lari nelle ricerche del sig. Reye sopra i sistemi lineari di forme fondamentali 

 (di piani sfere) proiettive. Ma adesso, oltre a queir ordine (m -f- 1)„, che è 

 ben noto (*), possiamo assegnare gli ordini delle varietà doppia, tripla, . . . che 

 si hanno uguagliando a zero tutti i determinanti risp. d' ordine n , n — 1 , . . . 

 estratti dalla matrice. La varietà /i-pla esisterà se il numero d — h(m — n-\-h) 

 è ri , ed avrà per dimensione appunto questo numero ; mentre il suo or- 

 dine, per quanto s' è visto al n. 3, sarà espresso dalla forinola (2). 



Più in generale possiamo sostituire alle a ift delle forme d'un ordine 

 qualunque p, delle x Xi .. . Xa- Allora la varietà che si ottiene scrivendo 

 che la matrice è di rango n — h-\-\ avrà ancora la dimensione 

 d — h(m — n-\-h); ma il suo ordine sarà dato dall'espressione (2) molti- 

 plicata per fi h(m - n+h \ In fatti si seghi la varietà con uno spazio di dimen- 

 sione h(m — n-\-h); vale a dire al posto delle x si mettano delle forme 

 lineari di h(m — n-\-h)-\-l nuove variabili y\ con che gli elementi am 

 della matrice diventeranno forme d' ordine fi di queste y. I punti, in nu- 

 mero finito, che così si avranno in Sa, corrisponderanno a quei punti dello 

 spazio [mn -f- m -f- n] considerato al n. 3, che sono intersezioni della V (?i) 



(!) E caso particolare di una l'orinola data, per induzione, da G. Salinoli nella 2 a ed. 

 (1866) della sua Higher Algebra, e poi dimostrata da S. Eoberts, Journ. f. Math. 67 (1867). 

 Vedi anche le più recenti dimostrazioni di K. Th. Vahlen (Journ. f. Math. 113, 1894), 

 e M. Pieri (Eendic. Circ. mat. Palermo, t. 11, 1896). 



