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di là e della varietà di dimensione h(m —n-\-h) rappresentata parametri- 

 camente col porre le coordinate dm uguali alle dette forme d' ordine ^ delle y. 

 Ora quest'ultima varietà è d'ordine ^m- n + h \ mentre V (to è d'ordine (2). 

 Dunque è vero che il prodotto di (2) per quella potenza di fx dà il numero 

 cercato. 



Se la matrice è quadrata, d'ordine n-\-\, e ancora le son 

 forme d' ordine fi delle coordinate di punti # X\ . . . sea , si dovrà moltipli- 

 care 1' espressione (3) per [i h ~ affine di avere l' ordine della varietà A-pla, 

 di dimensione d — h 2 (supposta 0), per la forma d' ordine (n -\- 1) p de- 

 finita dall' equazione 



\a ik \ = 0. 



Ove poi le date forme sian tali che ai* = am ? cioè si tratti di una 

 matrice quadrata simmetrica, la forma d'ordine (n-\-l)fx rappresentata da 

 quell'equazione avrà una varietà h- pia (che annullai determinanti d'ordine 



n — h -f- 2) di dimensione maggiore che nel caso generale, cioè d — > 



a 



supposto che questo numero sia > 0. Quanto all' ordine della detta varietà, 

 si vede con ragionamento del tutto analogo a prima che sarà espresso dalla 



formola (4) moltiplicata per ,tt 2 ('). 



Si può far applicazione di ciò alle varietà Hessiane successive di una 

 forma f(x x ì ...x n ) d'ordine v di S„. Chiamiamo così l'ordinaria forma 

 Hessiana H (1) , determinante simmetrico d'ordine n-\-l, i cui elementi sono 



Oik — — ; e poi anche le varietà H (2) , H <3) i cui punti annullano 



tutti i minori d'ordine n, n— 1 di quel determinante. La H (7i) , che 



riduce il determinante al rango n — K -\-l, esiste se n — — è ^0, 



ed in tale ipotesi ha questo numero come dimensione, e per ordine l' espres- 



sione (4) moltiplicata per (v — 2) 2 . Essa è varietà A-pla per la forma 

 H (1> ; ed è il luogo dei punti le cui quadriche polari rispetto ad f sono coni 

 di specie h (-). 



(') In particolare per h = 2, d = 3, si ha che nello spazio ordinario la superficie 

 rappresentata dal determinante simmetrico ha [a 3 . (n -f- 2) 3 punti doppi. Ciò rientra in una 

 proposizione di G. Salmon, Anal. Geom. of threc Dimensions, 2 d ed. 1865. Cfr. anche 

 Cremona, Preliminari di una teoria geom. d. superficie, n. 131 (n. 157 dell' ed. tedesca). 



( 2 ) E. Ascione, Sulla Hessiana di una varietà in S 4 , Giorn. di mat. 31 (1893) ha 

 fatto cenno della serie di varietà H; dimostrando che in S 4 la curva H <2) è di ordine 

 20 (v — 2) 3 (cfr. la formola di Salmon citata dianzi, nella quale si ponga n=4). 



