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Si noti che la retta xx fu assunta arbitrariamente; essa è solo subor- 

 dinata ad essere uno spigolo razionale e perpendicolare all'asse 4-rio. Si può 

 benissimo assumere un altro spigolo, che soddisfi alle stesse condizioni, e 

 quanti se ne vogliano, otterremo senza eccezione che essi sono assi di sim- 

 metria binari, e che per essi passano dei piani di simmetria verticali. Infatti 

 se ££' è uno spigolo razionale orizzontale, potremo condurre le due zone brt\ 

 e £ n 3 £' ; il loro punto comune, nel disegno n" , è simmetrico di a x per 

 rispetto ad £ e rappresenta una faccia razionale. La conclusione è questa : 

 dato come elemento di simmetria il solo asse 4-rio, e avendo riguardo sem- 

 plicemente alla legge della razionalità degli indici, vale a dire costruendo 

 tutte le possibili faccie razionali, otterremo che tutti i piani verticali razio- 

 nali sono piani di simmetria, e tutti gli spigoli orizzontali razionali sono 

 assi di simmetria binari, o altrimenti, le faccie razionali inclinate di uno 

 stesso angolo verso l'asse 4-rio sono tutte fra loro equivalenti. Un poliedro 

 così costruito col principio della razionalità degli indici, entra completamente 

 in sè stesso con una rotazione attorno all'asse 4-rio di 90°, di un multiplo 

 di 90°, ovvero di un angolo qualunque e anche infinitesimo, ma che non sia 

 parte razionale dell' intera circonferenza. 



Il ragionamento e la costruzione, che si son fatte intorno all'asse 4-rio, 

 sono applicabili senza alcuna variazione anco all'asse di simmetria 6-rio e 

 all'asse 3-rio razionale. Perciò anche i poliedri razionali con un asse di 

 simmetria 3-rio o 6-rio entrano in sè stessi completamente con una rotazione 

 attorno all'asse di simmetria di 60°, di un multiplo di 60°, ovvero di un 

 angolo qualunque e quindi anche infinitesimo, che non sia parte razionale 

 dell' intera circonferenza. 



I poliedri razionali dotati di un asse 3-rio, 4-rio o 6-rio come elemento 

 di simmetria hanno dunque questo di speciale che tutte le loro faccie infi- 

 nitamente numerose, egualmente inclinate verso l'asse di simmetria verticale 

 sono fra loro equivalenti; da qui segue che l'asse 3-rio, 4-rio e 6-rio è per 

 la legge della razionalità degli indici un asse di isotropia. Ma come asse 

 di isotropia i detti assi di simmetria 3-rio, 4-rio o 6-rio non possono essere 

 fra loro differenti; e nemmeno i poliedri con un asse di isotropia, ove si 

 immaginano completati con tutte le possibili faccie razionali, non possonsi 

 ritenere diversi gli uni dagli altri, trattisi di asse 3-rio, 4-rio o 6-rio. 



Se dunque consideriamo i cristalli esclusivamente dal punto di vista 

 della razionalità degli indici, parrebbero giustificate le seguenti 5 suddivi- 

 sioni dei poliedri simmetrici: 



1. sistema cubico, 



2. sistema con un asse di isotropia, 



3. sistema rombico ; 



4. sistema monoclino, 



5. sistema triclino. 



Rendiconti. 1900, Voi IX, 2° Sem. 41 



