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zione a cui si assoggetta un [#] imponendogli di giacere in una forma 

 [«o , a\ , ••• i a*], la indicheremo con (a , a x , ... a k ) : essa è di dimensione : 



o 



d=(k + l)r — \k{k-\- 1) — X «i (')■ 



K 



1. Dimostriamo che: 



Se in un sistema oo rt+1) ( *" -ft> algebrico di coppie S , S' di \_k~] si 

 trovano un numero finito di coincidenze, questo numero è espresso da 



(1) x=y_ (a , «i , ... , a h ) (r — a k ,...,r — a )' , 



ove il simbolo (a , ai , ... , a*) (r — a\ , ? , ... , r — a )' denota il nu- 

 mero delle coppie il cui spazio S appartiene alla forma \_a Q , «i , ... , a{\ , 

 mentre lo spazio S' corrispondente appartiene alla forma coniugata 

 [r — a k ,...,r — a„], e il sommatorio è esteso a tutti i possibili prodotti 

 del tipo di quello scritto. 



Suppongasi la (1) valida in [r — 1] e in [r — 2]. Nella varietà data V 

 di coppie di [k~\ separiamo una varietà oo 1 , v, costituita dalle coppie inci- 

 denti secondo \_k — 1] di un dato iperpiano n , e ognuna delle quali è con- 

 tenuta in un [_k -j- 1] insieme ad un punto dato . Fissiamo quindi in [r~\ 

 un fascio di [r — k — 1] (entro un dato [r — k~\ ), e chiamiamo omologhi 

 due [r — k — 1] del fascio quando ad uno determinato di essi appoggiasi 

 uno spazio S e all' altro uno spazio S' con quello accoppiato nella varietà V. 

 In virtù del principio di corrispondenza di Chasles, avremo y -\-y' coinci- 

 denze, y denotando il numero delle coppie della oo 1 che hanno lo spazio S 

 appoggiato a un dato [r — k — 1], e y' denotando il numero analogo con 

 lo scambio di S in S'. Tali coincidenze si presentano: 



a) Negli spazi [r — k — 1] del dato fascio a cui si appoggiano 

 gli x spazi \Jf\ che noi ricerchiamo. 



b) Nei t spazi [r — k — 1] che passano per i punti d' intersezione 

 del dato [r — k~] , con la varietà dei [k — 1] secondo cui si intersecano 

 le coppie della varietà v. 



(?) Nei z spazi [r — k — 1] che congiungono il sostegno del fascio 

 con le traccie sul dato [r — le] dei \_k -j- 1] appoggiati al sostegno sud- 

 detto, e ognun dei quali congiunge due spazi S , S' di v. 

 Dunque : 



• (2) x^y + y' — t — g. 



La y esprime il numero delle coppie S , S' incidenti secondo \_k — 1] 

 di n , i cui spazi congiungenti passano per 0, e i cui spazi S appoggiansi a 

 un dato [r — k — 1], che chiamiamo w. Profittando della conservazione 

 del numero suppongasi m in n. Se lo spazio S di una coppia che soddisfaccia 

 alle condizioni richieste, non giace in n ) dovrà lo spazio intersezione rela- 



(') Queste notazioni sono state introdotto Ja Schubert, a cui è pure dovuto il con- 

 cetto di forma fondamentale, nel senso più generale. 



