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 Siccome quando r si muove nella forma 



[* ,*i,...,^] , 0<* <-<**^ — 2 

 lo spazio S descrive la forma 



[*o + l,*» + l,...,*»+l], 

 e quando r' si muove nella forma 



Ir — 2 — b k ,... ,r — 2 — è ] , 

 lo spazio S' si muove nella forma 



[f — 1 — , »• , r — 1 — b a ~] , 

 ponendo &-|-l = <2 ! , sempre perchè la (1) s'è supposta vera in [r — 2], 

 avremo : 



£ — 2 («o , ... , — a» , - , r — «o)' , 1 < «o < «i ••• < «» ^ r — 1 , 

 e quindi; 



2 — M -j- y( flo , ... , — a h , ... , r — fl )' » 1 ^ < ••• < a k <. r — 1 . 

 Dalla (3) segue: 



^=y(a ,..., a^{r—an r — a )'+5!( ft o ».., a k )'(r— a k ,...,r— O ) + * — £, 



e siccome f contiene tutti i prodotto simbolici comuni ai due sommatori di 

 questa forinola, mentre t contiene quei termini che pur comparendo nel 2° 

 membro della (1), non compariscono in nessuno dei sommatori della forinola 

 ora scritta, riducendo si ha precisamente per x 1' espressione fornita della (1). 

 Dal momento che la (1) medesima è valida nel piano (') e nello spazio or- 

 dinario ( 2 ), sarà vera sempre. 



2. Della (1) erano noti finora due casi particolari: e cioè il caso di 

 k = 0, e il caso di k — 1 (e quindi, dualmente, il caso di k = r — 1 e 

 di k--= r— 2) ( 3 ). 



Come applicazione immediata della (1) si può ritrovare un notevole teo- 

 rema dovuto a Schubert, sul numero dei \_k~\ comuni a due sistemi conve- 



( 1 ) Cfr. Salmon, Geometri/ of three dimen. (1865, pag. 511) e Zeuthen, Comptes Ren- 

 dus, 1874. 



( 2 ) Cfr. Schubert, Beitràge zur abzàhlenden Geometrie (Math. Ann., Bel. X, 1876): e 

 Kalkul der abz. Geo., Leipzig, 1879. 



( 3 ) Per il caso di K = cfr- un frammento nelle Memorie di Geometria del Capo- 

 rali, intitolato : Sulla teoria degli spazi a più dimensioni ; una Nota del prof. Pieri, Sul 

 principio di corrispondenza, ecc. (Rend. dei Lincei, marzo 1887) e un' altra Nota del me- 

 desimo sulle Formole di coincidenza per le serie algebriche, ecc. (Rend. di Palermo, 

 t.V, 1881). Per il caso di K = l cfr. Pieri, Sulla corrispondenza algebrica fra due 

 spazi rigati (Atti della R. Acc. di Torino, t. 25, 1889). 



