RENDICONTI 



DELLE SEDUTE 



DELLA REALE ACCADEMIA DEI LINCEI 

 Classe di scienze fìsiche, matematiche e naturali. 



Seduta del 16 dicembre 1900. 

 A. Messedaglia, Presidente. 



MEMORIE E NOTE 

 DI SOCI PRESENTATE DA SOCI 



Matematica. — Sulla integrazione della equazione j 2 u = o 

 nello spazio indefinito non-euclideo. Nota del Socio Luigi Bianchi. 



1. È noto che le forinole di trasformazione di integrali multipli, dovute 

 a Green, possono estendersi a spazi di quante si vogliano dimensioni e con 

 una espressione qualunque per 1' elemento lineare ('). Per le funzioni armo- 

 niche (soddisfacenti cioè all' equazione J 2 u = 0) degli spazi a due o a tre 

 dimensioni di curvatura costante segue di qui che vale ancora il teorema 

 della media aritmetica di Gauss, e cioè: ogni funzione armonica, regolare 

 entro un circolo od una sfera rispettivamente, assume nel centro il valore 

 che è la media aritmetica dei valori al contorno. Ne risulta che gli ordinari 

 teoremi sui massimi e minimi delle funzioni armoniche, sull'unicità della 

 funzione in un campo qualsiasi per assegnati valori al contorno ecc. si tras- 

 portano inalterati dallo spazio euclideo agli spazi di curvatura costante. 



Applicate al caso di un campo a due dimensioni, queste considerazioni 

 non danno alcun nuovo risultato. Tuttavia è utile che ci fermiamo a dimo- 

 strare come per esse si riconosca a priori Y esistenza della celebre forinola 

 di Poisson, che per mezzo di un integrale definito risolve il problema di 

 Dirichlet per un campo circolare. 



Per ciò, dato nel piano un circolo C 



x i -^y 2 = R 2 , 



C) Vedi Beltrami, Sulla teorica generale dei parametri differenziali, § 4. 

 Rendiconti. 1900, Voi. IX, 2° Sem. 45 



