stabiliamo nel piano stesso sia ima metrica euclidea, assumendo la forma 



ds 2 = dx 2 -j- dy 2 



pel quadrato dell' elemento lineare, sia una metrica non-euclidea, ponendo 

 invece 



ds 'i = da* + d i/ 2 

 rj 2 



dove rj indica la distanza di un punto (x , y) variabile nel piano da una 

 retta esterna al circolo. Anche in questa metrica non-euclidea sarà C un cir- 

 colo a centro reale (') e precisamente il centro 0' non-euclideo sarà quel 

 punto interno a C pel quale vengono a passare tutti i circoli che sono nor- 

 mali simultaneamente a C ed alla retta rj = (che hanno i centri su questa 

 retta). 



Ora l' equazione J z u = delle funzioni armoniche è sempre la mede- 

 sima nell'una o nell'altra metrica. Se supponiamo adunque assegnati sulla 

 periferia di C i valori che deve assumere la nostra funzione armonica u, as- 

 soggettati alla sola condizione di formare una catena continua U, il valore 

 di u nell' ordinario centro sarà la media euclidea dei valori U al contorno 

 e medesimamente il valore di u in 0' sarà la media non-euclidea dei valori U 

 al contorno. Ma, variando la posizione della retta rj = 0, possiamo collocare 0' 

 in un punto qualsiasi dell' area circolare distinto da 0, onde riconosciamo 

 a priori V esistenza di una forinola che esprime per un integrale definito il 

 valore di u in un punto interno qualsiasi. Per scrivere effettivamente questa 

 formola, che coinciderà necessariamente colla forinola di Poisson, resta sol- 

 tanto da tradurre in analisi le considerazioni geometriche precedenti. 



Sia 0' = (x' ,y') il punto ove si vuole calcolare il valore di u. La 

 retta rj = 0, che rappresenta 1' assoluto della metrica non-euclidea nella quale 

 0' è il centro di 0, non è altro che la retta perpendicolare alla 00' nel 

 punto medio fra 0' ed il suo coniugato armonico rispetto a C ; essa ha quindi 

 per equazione 



(1) w + Q '*i—2(zx' + yy') = 



(f = x r * + y'*). 



Conseguentemente si ha 



_ R 2 + g' 8 ~ 2 (xx' ± _yjn 



ed indicando con a il raggio non-euclideo di C, a causa della formola 



7 , ds 

 ds = — , 



(') Appunto perchè il centro non-euclideo 0' riesca reale prendiamo la retta t] = 

 esterna a C. 



