— 336 — 



indicando con rj la distanza di un punto qualunque (x ,y , z) dal piano nor- 

 male alla 00' nel punto medio fra 0' ed il suo coniugato armonico rispetto 

 alla sfera S sul raggio stesso. Per tal modo veniamo ad attribuire allo spazio 

 la curvatura costante negativa K = — 1 ed il punto 0' viene a coincidere 

 col centro non-euclideo della sfera S (cfr. n. 1) ('). 



Dimostreremo che: La funzione u{x,y,s) così definita nell'interno 

 di S è finita e continua, insieme alle sue derivate di tutti gli ordini, ed 

 ivi soddisfa l'equazione a derivate parziali'. 



(I) ( R2 _^_^ 



/ Vu <^ m+ 2 L^ + y ^ + = 0; 

 ' Xlx* ~- ~ ^ P \ ìx 1 9 l>s / 



movendo poi dall'interno di S verso un punto qualunque del contorno in 

 qualsiasi direzione i valori di u convergono equabilmente verso il valore U 

 prefissato in quel punto. 



Così viene risoluto, con una forinola d" integrale definito, il problema 

 di integrare la equazione (I) con valori assegnati per u sulla superficie sfe- 

 rica S; e al n. 4 si proverà poi che il problema ammette questa unica soluzione. 



Per trovare intanto la forinola in questione, sulla quale dovremo veri- 

 ficare le proprietà enunciate nel teorema, basterà procedere come al n. 1. 

 Troviamo così: 



R 2 + g n — 2(xx' + yy' + ss') 



o 



'2 „'2 



2o' 



L' elemento da' d' area non-euclidea della sfera S sarà 



. «v -1, 



indicando con di V ordinario elemento d' area sferica. D' altronde pel raggio a 

 non-euclideo di S abbiamo, come al n. 1 : 



2Ro' 



senn a = 



R 2 — o' 2 



e quindi 1' area totale non -euclidea A di S sarà 



A = Air senh 2 a = 



( R 2 — q 



2 \2 



(') Prendiamo la forma particolare (2*) per l'elemento lineare dello spazio a curva- 

 tura costante per rendere più semplici i calcoli, ila i risultati finali a cui si perviene, 

 rimarrebbero identici assumendo un'altra qualunque metrica ove lo spazio riesca a cur- 

 vatura costante (negativa positiva) ed il punto 0' risulti ancora, in questa metrica, il 

 centro della sfera S. 



