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Per la media non-euclidea u(x',y' ,s') dei valori U avremo dunque 



( < ' s\ 1 Cn da 



^^'^ = i^nh^J s U 7' 



Ponendo per rj e Att sen h 2 a i valori sopra trovati ed indicando con y 

 l'angolo formato dalla direzione 00' con quella che da va al punto va- 

 riabile M d'integrazione su S, abbiamo la forinola definitiva: 



i t t n 1 Crr (BL* Q'*)* (fa 



v J ' 47tRV s (R--|-? 2 — 2Rq cosy) 



Questa offre, come si vede, la più grande analogia colla forinola di Poisson 

 che risolve il problema di Dirichlet pel campo sferico. 



3. Procedendo ora alle verifiche delle proprietà enunciate per la fun- 

 zione u(x' ,y' , /) definita dalla (II), cominciamo da quelle relative all'in- 

 terno di S, che si fanno con somma facilità. Basta osservare infatti che la 

 funzione di x' ,y',z' 



(R 2 — o' 2 ) 2 



(3) W = 



(R 2 -J-£>' 2 — 2Ro' cosy) 2 ' 



che comparisce sotto il segno integrale nella (II), tinche si rimane nell' in- 

 terno di S, avendo il punto {x , y , z) una posizione qualunque sul contorno, 

 è finita e continua rispetto a questi parametri x ,y',s' e possiede derivate 

 di tutti gli ordini pure finite e continue. Dunque la u{%' ,y' ,/) è finita e 

 continua in tutto l' interno di S e possiede derivate di tutti gli ordini pure 

 finite e continue, che si ottengono eseguendo nella (II) le corrispondenti de- 

 rivazioni sotto il segno integrale. 



Per dimostrare poi che la u(x . >/ , g') soddisfa all'equazione lineare 

 ed omogenea (I) : 



(B— ^.-y.-,.)^— + — + — j + 



basterà provare che vi soddisfa la W definita dalla (3). Ora se poniamo per 

 un momento 



r 2 = R 2 + o' 2 — 2R q' cosy = (x' — x) 2 + (y' — yf -f- (*' — s) 2 , 



v 



