ciò che, a causa della continuità supposta nei valori U, è sempre possibile. 

 Indicando con a" la calotta complementare di a' (a' -j- <j" = S), decompo- 

 niamo l' integrale del secondo membro della (4) nei due integrali estesi a 

 a' , a" rispettivamente. Ne dedurremo subito: 



I ( ' ' '\ TT _L_ f iW — g 8)2 d ° 



| u[x ,y ,.j ) u, | <^ ■ (R2 _j_ ?f> _ 2Ro , n(M 



(R 2 + o' 2 — 2R ? 'cosy) 2 



2 4,tR 2 . /„, (R 2 -j- £>' 2 — 2Ro'cosy) 2 



1 f tt ; tt (R 8 -g")'(fa 



4tR 2 J 5 J Uo! (R2_|-p' 2 — 2Rp'cos/ 



e per la (III), a più forte ragione 



( 5) K^,/,/)-n |<|+-^ fiu-u.i 



2 ^47tR 4 J rr' °'(R 2 + o' 2 — 2Ro'cosy) 2 1 



formola che vale dovunque sia (#', ;/ , tf) nell'interno di S. Ora consideriamo 

 un intorno di M foggiato, per fissare le idee, nel modo seguente. Descritta 

 una calotta interna e concentrica a o', costruiamo il cono che la projetta 

 dal centro e prendiamo pel detto intorno la regione del cono esterna ad 

 una sfera concentrica ed interna a S, ma di raggio q' sufficientemente pros- 

 simo a R. Se manteniamo M' = (x , y' , /) in questo intorno ed indichiamo 

 con b la minima distanza dei punti dell' intorno dai punti della calotta a"\ 

 avremo manifestamente sopra tutta &' : 



(R 2 + o' 2 — 2Ro'cos/) 2 > b\ 



D' altronde, indicando con D la massima oscillazione dei valori U al con- 

 torno, è sempre 



|U — U | < D, 



e per ciò 



1 f tt tt i (R 2 — Q ~)~ da D(R 2 — g' 2 ) 2 r .D._ 



Invi» L - U " 1 ("R 2 +o' 2 -2R ? 'cos^ - AnW.V . L** < * (R " _? } ' 



Quest" ultima quantità, prendendo o' sufficientemente vicina a R, si può l'en- 

 fi 



dere piccola a piacere, p. e. <C ^ , e la (5) ci dà allora 



\u(x , y' , s') — U | <C f i 



ciò che dimostra appunto come i valori di u nel detto intorno convergalo 

 in egual grado verso U c. d. d. 



4. I risultati a cui siamo così pervenuti possono ricevere una nuova 

 interpretazione quando si riguardi lo spazio euclideo, interno alla sfera 

 x l -j- if -j- ^ 2 — R 2 , come immagine (conforme) dello spazio non-euclideo nel 



