quale la detta sfera rappresenta V assoluto. Basta per ciò assumere come 

 forma dell' elemento lineare dello spazio 



/(? v , „ dx z + dy 2 -f- dz 2 



( b ) ds== 7M i 2 ^i' 



(K- — x- — y 2 — z-y 



venendo così ad attribuire allo spazio la curvatura costante negativa 



K = — 4R 2 . 



Ma allora 1' equazione fondamentale (I) viene ad assumere la forma 



J 2 u = 



per lo spazio d' elemento lineare (6). 



Ne concludiamo: La funzione u, determinata dalla forinola (II), è 

 una funzione armonica dello spazio non-euclideo (6); essa è regolare in- 

 sieme con tutte le sue derivale a qualunque distanza finita in questo spazio 

 e allontanandosi all'infinito verso un determinato punto, su qualunque 

 cammino, i suoi valori convergono equabilmente verso il valore U pre- 

 fissato ( 1 ). 



Possiamo dunque riguardare, conformemente al titolo della presente Nota, 

 come risoluto dalla forinola (II) il problema di Dirichlet per lo spazio in- 

 definito non-euclideo. 



Le considerazioni precedenti servono altresì a provare l' unicità della 

 funzione armonica u cogli assegnati valori U all' infinito. E invero, se ne esi- 

 stesse una seconda u x , la differenza u — u x sarebbe armonica in tutto 

 lo spazio e convergerebbe (equabilmente) verso zero allontanandosi al- 

 l' infinito. Dal teorema di Gauss della media segue allora che in tutto lo 

 spazio u — u x — 0. 



5. Se, prescindendo da ogni interpretazione di geometria non-euclidea, si 

 vuole provare direttamente come colla formola (II) venga a determinarsi 

 quella soluzione u della (I), che assume sul contorno sferico S i valori as- 

 segnati U, basta dimostrare direttamente la (III), dalla quale dipendono le 

 verifiche al contorno. 



A questo si perviene colle considerazioni seguenti, suggeritemi dal 

 prof. Dini. Posto come sopra 



^ = R2_|_ e '2_2Ro'cosy, 



0) I punti all'infinito si potranno manifestamente individuare coi raggi che da un 

 punto fisso dello spazio muovono verso di essi; i valori U prefissati all'infinito deb- 

 bono formare una funzione continua delle due variabili che individuano il raggio. 



