sviluppiamo - in serie di funzioni sferiche colla nota forinola 



T 



Indicando con Sì il primo membro della (III), avremo 

 (R 2 — q' 2 Y f /"f? g' n _ . A da 



Sì = 



;- g >*y f /»=« e '« W, 



ed, applicando l' integrazione termine a termine alla serie convergente in 

 egual grado, potremo scrivere: 



= R 2 — Q' 2 *y il / J_ f (R 2 — g ,2 )P»(cosy)^ \ 

 R 2 — oR^UttrJ, r 3 /" 



Ma, per la forinola di Poisson, l'integrale 



1 f (R 2 — p' 2 ) P„(cosy) t/<x 



4ttRJ s r 3 



non è altro che il valore in (x , y , s) di quella funzione armonica che sulla 

 sfera prende i valori P„(cos)'). E poiché questa funzione armonica è notoria- 

 mente 



^ Pn(cosy) , 



e nel punto (x' ,y' si ha cosy — L il valore del detto integrale risul- 

 g' n 



terà — — . Ne concludiamo 

 R" 



■ V R 2 ; W =- R 2 "~ 



ciò che dimostra appunto la (III). 



Osserviamo in fine che se si applica lo sviluppo precedente per funzioni 

 sferiche alla forinola (II), si ottiene l'altra 



u(x' v> e -\f Q - ■ — f {W - UP " da 



w >y >*>—y r^- r« 4,trJ s r 3 a ■ 



Ora l' integrale 



1 f (R 2 — q' 2 ) UP„ da 



4ttRJ s 



rappresenta, per la formola di Poisson, il valore che assume in {x' , y , /) 

 la funzione armonica u n che sulla superficie sferica prende i valori UP„(cosy). 



Rendiconti. 1900, Voi. IX, 2° Sem. 46 



