Indicando questo valore con u n , abbiamo dunque per l'integrale a della 

 equazione (I) il notevole sviluppo in serie : 



U = K ^ ' 



che vale in tutto l'interno della sfera. 



6. È facile estendere i risultati precedenti al caso di un numero qua- 

 lunque n di variabili, come vogliamo qui da ultimo stabilire. 



Nello spazio euclideo ad n dimensioni, dove indicano 

 coordinate cartesiane ortogonali di un punto mobile, si consideri l' ipersfera 



«l' + atfH \-x,, 2 = U 2 



e su questa ipersfera si assegnino i valori di una funzione continua U, del 

 resto arbitraria. Fissiamo poi nei punti interni 0' = (x\ , x\ ... x' n ) i va- 

 lori di una funzione u nel modo seguente : quando 0' è nell' ordinario centro 

 dell' ipersfera prendasi per u la media (euclidea) dei valori U al contorno, 

 ed in caso opposto la media non-euclidea di quei medesimi valori in quella 

 metrica non-euclidea nella quale 0' risulta centro dell' ipersfera. Colle nota- 

 zioni stesse dei numeri precedenti, indicando con ds V ordinario elemento 

 lineare, con ds l'elemento lineare non-euclideo, potremo prendere: 



, , _ ds^ 



essendo 



R 2 + ?' s — zTxix'i 

 r ' = 2? ~ 



(Q'*-=Txn- 



e per un punto {x\ , x% ... x n ) dell' ipersfera 



R 2 -f q' 2 — 2 Ro' cos y 



Per il raggio non-euclideo a dell' ipersfera vale ancora la forinola 



2Ro' 



sen n a = — — ^-77 



SX' Q ' 



e quindi per la sua area totale A avremo : 



A = (sen h a)' 1 - 1 ro , 



