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dove oj indica l' area di un' ipersfera di raggio = 1 nello spazio S„ eucli- 

 deo. Si ha, come è noto ( l ) 



m — . 



Ne risulta per u{x\ '„) la formola: 



(IV) u(x\ 



x' n ) = 



iti 







2n ^ . R"- 1 



(W — o' 2 )"- 1 da 

 (R 2 + e' s — 2Ro' cosy)" ; 



ove da denota l'ordinario elemento (euclideo) d'area dell' ipersfera e l' inte- 

 grale del secondo membro è esteso a tutta l' ipersfera S. 



Con verifiche del tutto analoghe a quelle dei casi precedenti, si vedrà 

 che questa funzione u{pc\ , x\ ... x' n ) è regolare colle sue derivate di tutti 

 gli ordini nell'interno dell' ipersfera S e coli' avvicinarsi di 0' == {x\ . x\...x' n ) 

 al contorno tende equabilmente verso i valori prefissati U. Inoltre essa sod- 

 disfa nell' interno dell' ipersfera all' equazione a derivate parziali : 



(B-Z^)Z$ + 2(*-2)Z^=0; 



questa non è altro che l'equazione: 



d\ u = , 



calcolata nella metrica non-euclidea d' elemento lineare 



, ,, dXi 2 4- dxz 2 -\ — 4- dx~n 



Per n = 2 la (IV) coincide colla formola di Poisson pel cerchio, per 

 n = 3 colla (II) num. 2 ; in generale possiamo dire : 



La formola (IV) risolve il problema di Dirichlet per lo spazio in- 

 definito non-euclideo ad n dimensioni. 



( l ) V. p. e. Kronecker, Vorlemngen, I er Bel , pag. 266. 



