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2) Trovate le funzioni y , determinare tutte le terne di soluzioni 

 della (1) che soddisfanno la condizione (2). Orbene, se si osserva che x , y e s 

 risultano rispettivamente soluzioni del sistema 



7> log <p ~òd ì log <f> ì6 



Ì)V ìli ~òu ~hv 



c , 



ove c è una certa funzione, la cui espressione è diversa per ciascuna delle 

 tre soluzioni, viene subito in mente di cercare tutti i sistemi (3) che am- 

 mettono una soluzione con due costanti arbitrarie, cioè tutti i sistemi della 

 forma (3) completi. Le condizioni, perchè il sistema (3) sia completo, si otten- 

 gono facilmente, o con l'aiuto di particolari artefìzì, o con l'applicazione 

 diretta di un metodo generale proposto dal prof. L. Bianchi ( 1 ). Esse si ri- 

 ducono alle seguenti: 



( A( 2 « + ^^U^(2/> + -^U^ + ^ + 4^ 



) ÌU \ 1 ~ÒV ) 7)V\ 1 ÌM / ~ÒV 1 ~ÒU ' 



{Ì) j log . = log , + f(2a + ./„ + (U + ^p) du , 



ove ho indicato con a e b i coefficienti di — e — , e con y una costante 



1)U ì>v 



arbitraria (-). 



Supponendo queste condizioni verificate per il sistema (3), si vede subito 

 che c e saranno date da espressioni della forma seguente : 



e = yf(u,v) d = yF (u , v , a) -J- , 



ove a e /? sono costanti arbitrarie; talché, scelte tre costanti y x , y 2 e y* 

 legate dalla relazione y y -j- y 2 -f- y 3 = , le formule 



x = y\ F , y , «!) 



y = y 2 F , y , « 2 ) 



2 == y 3 F , V , « 3 ) 



definiranno delle superficie a linee di curvatura isoterme, e u , y saranno i 

 parametri di tali linee. 



i 1 ) Sulle soluzioni comuni a duo equazioni alle derivate parziali del 2° ordine... 

 Rend. Acc. Lincei, Serie IV, voi. II, 1885-86. 



( 2 ) Le condizioni (4) sono state dedotte dal sig. Tzitzéica in una Nota recente : Sur 

 une classe d'équations de Laplace. Bulletin des sciences mathém. Serie II, t. XXIV, 1900. 



