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2. Nel caso nostro è — = — , per cui le (4) danno 

 r 2 log a = log b = 4 b 



ossia 



et 



~ò 2 log 7 



—^' = 0; 



a U 



per conseguenza sarà ~ = — , essendo U e V funzione rispettivamente della 

 b V 



sola u e della sola v , e si potrà porre 



a = X U 6 = / V . 



Di qui risulta che ci si può limitare al caso di a = — b = X , facendo un 

 opportuno cambiamento di parametri. Allora <p è una funzione di u — v , 

 e sarà anche A = A(^ — y) = A(£). Ki correndo nuovamente alle (4), si 

 trova che questa funzione X deve soddisfare l'equazione 



(5, lf = = 2 , /;, + ,,- , 



ove h è una costante arbitraria. Vi sono perciò tre casi da considerare: 

 h = , h z >■ , h 2 <C . Per ciascuna di queste ipotesi si ottengono due 

 espressioni per X e due corrispondenti per c , secondochè si considera il segno 

 positivo o il negativo. Dopo i calcoli necessari, che io qui tralascio per 

 brevità, si giunge a un risultato notevole, il quale si può enunciare così: 

 Tutti i sistemi della forma (3) completi sono riducibili a una delle 

 forme qui appresso indicate, nella quale figurano per brevità i simboli 

 di Monge: 



caso di h = (6) « , (6 r )\ 



v ' j p q = A v ' ) A 



pq = 



(u — v) 2 



sen2(w — v) j sen2(?< — v 



caso di h 2 < (7) { (7') 



sen 2 (u — v) x cos 2 (u — v) 



senh2(a — v) ^ p ~ q) \ S== ~~ senh2(u^v~) ( ' P ~ q) 



caso di h 2 > (8) l (8') 



A. 



senh 2 (u — v) * 1 cosh 2 (u — v) 



ove A è una costante arbitraria. 



