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La soluzione che si cerca è definita dall' equazione differenziale 



dO =p du -\- q dv , 



ove p e q hanno le espressioni precedenti. Per integrarla facilmente conviene 

 cambiare le variabili, ponendo 



cot (u — et) = £ , cot (v — a) = tj . 



Si trova allora 

 dO 



da cui 



= — Blog 



1 >/-f £ 



^coUy — a) 4- l/ cot {u — a) 



= — B log — — — , 



y cot (y — a) — j cot — ce) 



trascurando la costante d' integrazione. 



In questa maniera si perviene a determinare le formule che definiscono 

 le classi di superficie a linee di curvatura isoterme, corrispondenti ai sei 

 sistemi di equazioni in discorso. Io le indico qui appresso, e distinguo ogni 

 classe di superficie con un numero, uguale a quello del sistema differenziale 

 dal quale si deducono ; trascurando però quelle corrispondenti al sistema (6), 

 perchè sono ben note (quadriche a centro): 



2 = —G log 





— Ci — ]/u 



— a 



l/v 





— fi 



]/v 



— fi — \/u 



-fi 



\/v 



— r + V* 



— y 



]/v 



— y — fu 



— / 



■f/ cot (y — cc )-\-] / goì{u — a) 



, x— — Alog— — = 



j,- cot(p-«) — t/ cot(K-«) „ =2 |/A arcotf/cot( y -a)cot(a-«) 



t/cot(t7 — gH-j cotU — g) \ 



(7) V=— Blog^ * £-==== == (7') V=2t/Barcot|/cot(y-/?)cot(«-/?) 



J'cot(z; — ,i) — \ cot(w — /?) j _ 



j/cot^-^+j/cot^-y) U=2^/Caxcotj/cot(w— y)cot(«-y) 



— — ^ / / — -, 



y cot(y — y) — ] cot(« — y) 



, . t cothfy — coth(^— a) / /— . 

 Le— Alog — \x=] Alog 



l ycoth(y — a) — ) coth(w — ce) l 



(8)i=Blog t -^^S±Ì^3 (8')i=|/Blog 



't / coth(w— /S)— t/coth(M— /?) 



? =c l0 /^z^+V^zll \ ,= t /c log 



t 7 coth (w— y)+|/coth (ti—y) 



l+ycoth(y- 



— a)coth(w- 



-a) 



1 — ■J/coth(y- 



— «)coth(zi— 



-a) 



l-f-j/coth(y- 



— /S)coth(w- 



-fi) 



1— |/coth(y- 



— /9)coth(w- 



-fi) 



l+t/coth(y- 



— y) coth(^- 



-y) 



1— t 7 coth(y- 



— y) coth(w- 



-y) 



