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Matematica. — Sulla varietà cubica con dieci punti doppi 

 dello spazio a quattro dimensioni, e sulla configurazione di quin- 

 dici cerchi dello spazio ordinario studiata dallo Stephanos. Nota I 

 di Luigi Berzolari, presentata dal Socio E. Bertini. 



Le considerazioni delle mie due Note recentemente pubblicate in questi 

 Rendiconti ( l ) si estendono ad uno spazio lineare S r di r dimensioni (con 

 r£> 3), quando si parta da una configurazione formata (con certe condizioni 

 dì cui dirò più innanzi), anziché di piani e di rette, d'iperpiani e di spazi 

 lineari S r _ 2 ad r — 2 dimensioni. Negli iperspazi però la determinazione di 

 tutte le possibili configurazioni del tipo a cui ho alluso si esaurisce per 

 mezzo di un risultato, che è molto più semplice che non nello spazio or- 

 dinario, in quanto che — senza fare nessuna ipotesi preventiva sui numeri 

 x,y,n,k che tra poco definirò — ne resta caratterizzata unicamente la 

 varietà cubica con IO punti doppi dell' S 4 . 



Com'è noto (*), i 10 punti doppi di una tale varietà si distribuiscono 

 in 15 quaterne poste risp. sopra 15 piani, che sono i soli piani contenuti 

 nella varietà; ed esistono 15 spazi (a tre dimensioni) di cui ciascuno con- 

 tiene tre dei piani, mentre per ognuno dei piani stessi passano tre di quegli 

 spazi. Oltre a ciò, ogni spazio contenente due dei piani ne contiene anche 

 un terzo; e uno dei 15 piani, il quale non giaccia in uno dei 15 spazi, 

 incontra questo spazio in una retta posta sopra uno dei tre piani contenuti 

 nello spazio considerato. 



Queste proprietà si invertono completamente col seguente teorema (n. 1) : 



Nello spano S r (con r > 3) si abbia una configurazione formala di 

 x spazi S r _ 2 (tre qualunque dei quali non passa/ili per uno stesso S r - 3 ) 

 e di y iperpiani, tali che in ognuno degli iperpiani esistano n degli S r _ 2 

 e per ognuno degli S r _ 2 passino k degli iperpiani. Si suppongano inolire 

 soddisfatte queste due condizioni'. 



(') Sopra una classe di configurazioni di rette e dì piani, Kend. della R. Accad. 

 dei Lincei, eerie 5 ft , voi. XXV, sem. II, 1916, pag. 258; Proprietà caratteristiche della 

 configurazione formata dalle rette e dai piani tritangenti di una superficie del terzo 

 ordine, id„ pag. 367. 



(') Segre, Sulla varietà cubica con dieci punti doppi dello spazio a quattro di- 

 mensioni, Atti della R. Acc. di Torino, voi. XXII (1887), pag. 791; Sulle varietà cubiche 

 dello spazio a quattro dimensioni, ecc., Memorie della R. Accad. di Torino, s»rie II, 

 voi. XXXIX (1889), pag. 3; Castelnuovo, Sulle congruenze del 3° ordine dello spazio a 

 4 dimensioni, Atti del R. Istituto Veneto, serie VI, voi. VI (1888), pag. 525. Cfr. pure 

 Bertini, Introduzione alla geometria proiettiva degli iperspazi, Pisa 1907, pag. 176. 



