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(I) se due degli S r _ 2 si tagliano in un S r _ 3 , epperò giacciono in 

 un iperpiano, questo appartenga alla configurazione, quindi contenga altri 

 n — 2 di quegli S r _ 2 ; 



(II) se uno degli S r _? e uno degli iperpiani non si appartengono, 

 l S r _ s tagli V iperpiano in un S,._ 3 situato in uno degli n S,._ 2 contenuti 

 nell' iperpiano. 



Orbene, se, per escludere casi privi d' interesse, si suppone n > 3 , 

 k >. 3 ('), esiste una sola di siffatte configurazioni, ed è quella formala 

 dai 15 piani di una varietà cubica con 10 punti doppi dell S 4 , e dai 15 

 spasi (a tre dimensioni) che li contengono a tre a tre. 



L' interpretazione di questo teorema nello spazio di quattro dimensioni 

 formato dalle sfere dello spazio ordinario, conduce immediatamente (n. 2) 

 alla notevole configurazione di 15 cerchi dello spazio, che fu per la prima 

 volta studiata dal sig. Stephanos ( 2 ) e della quale sono così anche poste in 

 evidenza delle proprietà semplici, e di natura interamente elementare, che 

 servono a caratterizzarla. 



Nel n. 3 si riprende l'anzidetta varietà cubica dell' S 4 allo scopo d'in- 

 vertire alcune proprietà della configurazione formata dai suoi 10 punti doppi 

 e dai suoi 15 piani. 



1. Come nella mia prima Nota citata, i numeri x ,y , n , k sono legati 

 dalle relazioni 



x = »[(» — 1) (A — 1) + 1] . 

 y==k[_(n — 1)(A_1) + 1], 



(') Per k=l la configurazione si riduce ad un unico iperpiano e ad un numero 

 qualunque di suoi S r _ 2 . Se k — 2, essa è formata di due gruppi di n iperpiani ciascuno, 

 e degli n- S r — 3 in cui gì 1 iperpiani dell' un gruppo incontrano quelli dell'altro. Se n = \, 

 la configurazione consta di un unico S r _ a e di un numero qualunque d' iperpiani passanti 

 per esso. Per n — 2 si ha x — 2k , y = k' 2 , e i 2k S r _2 si distribuiscono in due gruppi 



A! , A", ... , e B' , B" , di k spazi ciascuno, in modo che due spazi di uno 



stesso gruppo si tagliano in un S r — *, mentre ogni spazio dell' un gruppo incontra ogni 

 spazio dell'altro in un S r _ 3 • Ma allora le intersezioni, ad esempio, di A' e A" con B' 

 debbono avere in comune 1' S r _< in cui si secano A' e A", epperò i 2k S r _ s passano 

 tutti per un medesimo S r — *. I due gruppi di k S r _ 2 si ottengono dunque proiettando k 

 generatrici di una schiera e k generatrici dell'altra schiera di una stessa quadrica a due 

 dimensioni, da un S r _< generico ; mentre gli iperpiani della configurazione sono quelli 

 che contengono, negli n 2 modi possibili, due S r _ 2 dei due gruppi. 



( 2 ) Sur une configurativn remarquable de cercles dans Pespace, Comptés rendus de 

 l'Acad. des sciences de Paris, t. XCIII (1881 j, pag. 578 ; Sur une configuration de quinze 

 cercles et sur les conyruences linéaires de cercles dans Vespace, id., pag. 633. Le pro- 

 prietà soltanto enunciate dal sig. Stephanos furono poi dimostrate, con altre, dal signor 

 Koenigs, Contributions à la théorie du cercle dans Pespace, Ann. de la Faculté des 

 sciences de Toulouse. sèrie I, t. II (1888), Mem. F, e dal sig. E. Cosserat, Sur le cercle 

 considéré comme élément générateur de Vespace, id., t. Ili (1889), Mém. E. Cfr. anche 

 due Note del Cosserat nei Comptes rendus de l'Acad. des sciences de Paris, t. CVI (1888), 

 p. 1467 c 1514, e il recentissimo libro del sig. Coolidge, A treatise on the circle and 

 the sphere, Oxford 1916, p. 474 e seg. 



