L' ipersuperficie è irriducibile, perchè, se si spezzasse in altre due F' 

 ed P", ad esempio a n apparterrebbe ad P' e non ad P"; quindi anche 

 a>ti ì Uzi , ••• , «ni -, giacendo in uno stesso iperpiano con a n , ma non con al- 

 cuno degli spazi a i2 , a l3 , ... , a ìn , apparterrebbero ad P', il che è assurdo. 



Sia P l' ipersuperficie così determinata. Se le equazioni di un suo S r _ 2 



sono 



L = , M = , 

 l'equazione di P sarà del tipo 



li<p + Mxp = , 



dove <p e xp sono forme di ordine n — 1 nelle coordinate. Perciò ogni punto 

 della varietà ad r — 4 dimensioni e d'ordine (u — 1)* in cui si tagliano 

 L = 0, M = 0, g> = , xp = sarà doppio per F ('). Una tale varietà 

 doppia di F esiste dunque in ogni S r _ 2 della configurazione. Ma, conside- 

 rando un iperpiano qualunque di questa, le varietà doppie contenute ne' suoi 

 n spazi S r _ t debbono appartenere agli S,_ 3 in cui gli stessi S r _ 2 si tagliano 

 a due a due; per conseguenza ciascuna si spezza in n — 1 vaiietà di or- 

 dine n — 1 . 



In conclusione, in ognuno degli iperpiani della configurazione l'ipersu- 



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perfide F possiede — - — varietà doppie V, di dimensione r — 4 e di 



Z 



ordine n — 1, situate negli S,_ 3 in cui a due a due s'incontrano gli n S r _ 2 

 della configurazione contenuti nell' iperpiano. 



Ma se per uno degli S,-_ 2 della configurazione si conducono due iper- 

 piani della medesima, una qualunque delle varietà V contenute nell' S,._ 2 

 starà pure e in uno degli altri S r _ 2 del primo iperpiano e in uno degli 

 altri S r _ 2 del secondo, cosicché i tre S r _ 2 passeranno per un medesimo S r _ 3 , 

 contrariamente ad una delle ipotesi ammesse. 



L'assurdo cade soltanto supponendo r = 4 e poi n~3, il che conduce 

 alla varietà cubica con 10 punti doppi dell' S< . Così il teorema enunciato 

 in principio è dimostrato. 



2. Il sig. Stephanos (loc. cit.) ha studiata una configurazione di 15 

 cerchi e 15 sfere (nello spazio ordinario), la quale presenta, tra le altre, le 

 seguenti proprietà: 



a) sopra ognuna delle sfere esistono tre dei cerchi, e per ognuno dei 

 cerchi passano tre delle sfere; 



b) se due dei cerchi stanno sopra una delle sfere, questa sfera è della 

 configurazione, epperò contiene un terzo cerchio della medesima; 



c) uno dei cerchi e una delle sfere, che non si appartengano, sono 

 tali che il cerchio seca la sfera in due punti posti sopra uno dei tre cerchi 

 tracciati sulla sfera. 



(') Cfr. la citata Memoria del sig. Segre, Sulle varietà cubiche dello spazio a 

 quattro dimensioni, n. 5. 



Rendiconti. 1917, Voi. XXVI, 1° Sem. 5 



